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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:ni3xu4}}
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|keywords=拟序, 严格预序, 严格偏序, 拟序集, 严格预序集, 严格偏序集
|description=本文介绍拟序（严格预序、严格偏序）关系的定义、性质及其在序理论中的位置，包括拟序与预序、偏序的联系与区别，以及拟序集的基本概念。
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|published_time=2024-02-28
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{{InfoBox
|name=拟序
|eng_name=strict preorder
|aliases=quasi-order,强序.strong order,严格预序,严格偏序,strict partial order
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{{InfoBox
|name=拟序集
|eng_name=strictly partially ordered set
|aliases=严格预序集,严格偏序集,strictly preordered set
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'''拟序'''，或'''严格预序'''('''strict preorder''')、'''严格偏序'''('''strict partial order''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]同时是[[反自反关系]]和[[传递关系]]。同时，这样的关系一定是[[不对称关系]]。
元素间存在拟序关系的集合称为'''拟序集'''('''strictly partially ordered set''')。

<blockquote>
注意， quasi-order 一词在中文语境中作为拟序的翻译，是'''反自反'''且传递的关系；但在英文语境中是预序(preorder)的别名，用来指'''自反'''且传递的关系，见[[预序]]条目。

为避免混淆，两个条目中均将 quasi-order 标注为别名，且从正文中删去。
</blockquote>

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\prec</math> ，如果满足反自反性和传递性，即：
* 反自反性： <math>\forall a \in P \lnot (a \prec a)</math> ；
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \prec b \land b \prec c \rightarrow a \prec c)</math> 。
称关系 <math>\prec</math> 为一个'''拟序'''或'''严格预序'''('''strict preorder''')或'''严格偏序'''('''strict partial order''')。
并称带有拟序关系的集合 <math>(P,\preceq)</math> 为'''拟序集'''或'''严格预序集'''('''strictly preordered set''')、'''严格偏序集'''('''strictly partially ordered set''')。

注：根据使用者的习惯，拟序中的关系通常会使用符号 <math>\prec,<</math> 中的某个。

== 关系图特征 ==

* 拟序的关系图是一个无自环的有向图，且传递闭包等于自身；
* 拟序关系图不允许有向环（由反自反性和传递性保证）。

== 性质 ==

* 基本特征
** 拟序是反自反且传递的二元关系。
** 拟序必然是不对称关系。
* 运算性质
** 拟序的[[交（关系）|交]]仍是拟序；
** 拟序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是拟序；
** 拟序的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是拟序。
* 拟序集中的特殊元素
** 有限拟序集一定存在[[极大元、极小元]]。

== 关联 ==

* 拟序的[[自反闭包]]是[[偏序]]，且[[预序]]中去除等价元素后也会成为拟序，可以通过以下方式转换。
** 拟序可以诱导出一个偏序：定义 <math>a\preceq b</math> 当且仅当 <math>a\prec b \lor a=b</math> 。
** 预序可以诱导出一个拟序：定义 <math>a\prec b</math> 当且仅当 <math>a\preceq b \land a\npreceq b</math> 。
** 偏序可以诱导出一个拟序：定义 <math>a\prec b</math> 当且仅当 <math>a\preceq b \land a\neq b</math> 。由于反对称性，也等价于 <math>a\preceq b \land a\npreceq b</math> 。

从预序和偏序中进行这种去除等价或自反成分的操作结果，分别是严格预序和严格偏序，两者的结果都是拟序，因此是等价概念。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

在中文语境中，拟序关系的英语为 quasi-order ，指反自反且传递的关系<ref>https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%9F%E5%BA%8F/18899714</ref><ref>https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%9F%E5%BA%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB/18882239</ref>，偶尔可能指自反且传递的关系<ref>https://www.docin.com/p-1499971296.html</ref>；
预序关系为 preorder，较多指自反且传递的关系，但也不少用作拟序关系的同义词，指反自反且传递的关系。
本 wiki 中按照中文语境的习惯确定[[预序关系]]和[[拟序关系]]这两个条目的名称。
但是使用英语的情况下， quasi-order 和 preorder 是同义词，指自反且传递的关系，
反自反的版本则通过在前面加上 strict 来表示。
这里术语的使用基本中英文是不对应的。

== 参考资料 ==

<references/>