拟序

拟序
术语名称	拟序
英语名称	strict preorder
别名	预序, quasi-order, 强序.strong order, 严格偏序, strict partial order

拟序集
术语名称	拟序集
英语名称	strictly preordered set

拟序(strict partial order)指集合上的一个二元关系同时反自反且传递。同时这样的关系一定不对称。 元素间存在拟序关系的集合称为拟序集(strictly partially ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] ，如果满足反自反性和传递性，即：

• 反自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P \lnot (a \prec a) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \prec b \land b \prec c \rightarrow a \prec c) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] 为一个拟序(strict partial order)。

拟序关系总是反自反、反对称（不对称）、传递的。

关联

由于一个关系同时传递且反自反则一定不对称，严格预序关系等价于严格偏序关系。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

琐事

名称

在中文语境中，拟序关系的英语为 quasi-order ，指反自反且传递的关系，偶尔可能指自反且传递的关系； 预序关系为 preorder，较多指自反且传递的关系，但也不少用作拟序关系的同义词，指反自反且传递的关系。 本 wiki 中也是如此确定预序关系和拟序关系这两个条目的名称。 但是使用英语的情况下， quasi-order 和 preorder 是同义词，指自反且传递的关系， 反自反的版本则通过在前面加上 strict 来表示。 所以这里术语的使用基本中英文是不对应的。