查看“︁挠群、无扭群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=挠群
|eng_name=torsion group
|aliases=周期群,periodic group
}}
{{InfoBox
|name=指数
|eng_name=exponent
}}
{{InfoBox
|name=无扭群
|eng_name=torsion-free group
}}
{{InfoBox
|name=混合群
}}
'''挠群'''('''torsion group''')指一个[[群]]的所有元素均具有有限[[阶（群）|阶]]。
挠群中这些阶的[[最小公倍数]]称为挠群的'''指数'''('''exponent''')。

'''无扭群'''('''torsion-free group''')相对地指群中[[幺元]]外所有元素均具有无限阶。（幺元的阶数永远是 1 ，不需要讨论）

其他的情况称为'''混合群'''。

== 定义 ==

=== 挠群 ===

对群 <math>\langle G, \cdot\rangle</math> ，若对任意 <math>g \in G</math> 都有 <math>\operatorname{ord}_G(g)</math> 有限，则称群 <math>G</math> 是一个'''挠群'''('''torsion group''')/'''周期群'''('''periodic group''')，或称群 <math>G</math> 是'''周期的'''('''periodic''')。这些阶的最小公倍数称为挠群 <math>G</math> 的'''指数'''('''exponent''')。

=== 挠群第二定义 ===

对群 <math>\langle G, \cdot\rangle</math> ，若 <math>(\exists n \in \mathbb{N}_+)(\forall g \in G)(g^n = e_G)</math> ，则称群 <math>G</math> 是一个'''挠群'''/'''周期群'''，或称群 <math>G</math> 是'''周期的'''，其中的正整数 <math>n</math> 称为挠群 <math>G</math> 的'''指数'''('''exponent''')。

=== 无扭群 ===

对群 <math>\langle G, \cdot\rangle</math> ，若对任意 <math>g \in G</math> 都有 <math>\operatorname{ord}_G(g) = \infty</math> ，则称群 <math>G</math> 是一个'''无扭群'''('''torsion-free group''')，或称群 <math>G</math> 是'''无扭的'''('''torsion-free''')。

=== 混合群 ===

既不是挠群也不是无扭群的群称为混合群。其中幺元外既存在有限阶元素的也存在无限阶元素。

== 性质 ==

有限群一定是挠群。

一个群的全部有限阶元素构成子群，称为'''最大挠子群'''，群对这个子群的[[商群]]是无扭群。


{{群论}}