挠群、无扭群
| 挠群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 挠群 |
| 英语名称 | torsion group |
| 别名 | 周期群, periodic group |
| 指数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 指数 |
| 英语名称 | exponent |
| 无扭群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 无扭群 |
| 英语名称 | torsion-free group |
| 混合群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 混合群 |
| 英语名称 | |
挠群(torsion group)指一个群的所有元素均具有有限阶。 挠群中这些阶的最小公倍数称为挠群的指数(exponent)。
无扭群(torsion-free group)相对地指群中幺元外所有元素均具有无限阶。（幺元的阶数永远是 1 ，不需要讨论）
其他的情况称为混合群。
定义
挠群
对群 [math]\displaystyle{ \langle G, \cdot\rangle }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_G(g) }[/math] 有限，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一个挠群(torsion group)/周期群(periodic group)，或称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是周期的(periodic)。这些阶的最小公倍数称为挠群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的指数(exponent)。
挠群第二定义
对群 [math]\displaystyle{ \langle G, \cdot\rangle }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists n \in \mathbb{N}_+)(\forall g \in G)(g^n = e_G) }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一个挠群/周期群，或称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是周期的，其中的正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 称为挠群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的指数(exponent)。
无扭群
对群 [math]\displaystyle{ \langle G, \cdot\rangle }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_G(g) = \infty }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一个无扭群(torsion-free group)，或称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是无扭的(torsion-free)。
混合群
既不是挠群也不是无扭群的群称为混合群。其中幺元外既存在有限阶元素的也存在无限阶元素。
性质
有限群一定是挠群。
一个群的全部有限阶元素构成子群，称为最大挠子群，群对这个子群的商群是无扭群。