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[[分类:命题逻辑定理]]
[[分类:谓词逻辑定理]]
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|keywords=排中律,非中律
|description=排中律是古典逻辑三大基本规律之一，要么A要么非A。表明任何命题要么为真要么为假，不存在中间情况。这一定理是反证法的基础。
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|published_time=2025-09-05
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|name=排中律
|eng_name=law of excluded middle
|aliases=principle of excluded middle,law of the excluded third,principle of the excluded third,LEM,非中律
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'''排中律'''('''law of excluded middle''' ，或 law of the excluded third ，其中 third 直接来自拉丁语 {{Lat|principium tertii exclusi}} )是古典逻辑三大基本规律之一，指对任何命题而言，不能同时拒绝一个命题及其否命题，或者说一个命题要么真要么假，不存在同时不成立的情况，即“要么 A 要么非 A”。

== 定理 ==

永真式 <math>\vDash P \lor \lnot P</math> 称为'''排中律'''('''law of excluded middle''')，简写为 '''LEM''' 。

在谓词逻辑中，排中律表现为： <math>\vDash \forall x (P(x) \lor \lnot P(x))</math> 。

== 意义 ==

* 在[[自然演绎系统]]中，排中律常作为基本推理规则或定理出现。
* 在 [[Hilbert 系统]]中，排中律通常作为一个重要的公理或定理。
* 排中律与[[同一律]]、[[矛盾律]]共同构成古典逻辑三大基本规律。在古典逻辑中：
** 它确保了二值原则，即每个命题都有确定的真值（真或假）；
** 它为[[反证法]]提供了逻辑基础；
** 它与[[双重否定律（逻辑）|双重否定消去]]逻辑等价。
* 排中律和双重否定消去一样，都可以作为[[反证法]]的基础：
** 反证法通过证明 <math>\lnot A</math> 导致矛盾，即 <math>\lnot A</math> 为假，即 <math>\lnot(\lnot A)</math> 。隐式使用双重否定消去从而得到结论 <math>A</math> ；也可以认为排中律 <math>A\lor \lnot A</math> 在有 <math>\lnot(\lnot A)</math> 时通过[[选言三段论]]得到了 <math>A</math> 。
** 因此，反证法的[[有效推理|有效性]]依赖于排中律。

== 非经典逻辑中的情况 ==

* 直觉主义逻辑明确拒绝排中律，这也是直觉主义逻辑与经典逻辑的主要差别。
* 对多值逻辑，由于排中律本质是提出真值必须是两个真值之一，多值逻辑中真值超过两个时，排中律通常不成立。
* 模糊逻辑中，排中律不绝对成立，因为真值度连续变化。

== 其他表述 ==

排中律的表述仅要求两个命题互为否定，可以扩展到命题逻辑外的逻辑领域中，并替换为一对互为否定的命题：
* [[模态词|模态命题]]：要么必然 A 要么可能非 A ；要么可能 A 要么必然非 A 。
* [[直言命题]]中的 A 与 O 、 E 与 I ：要么所有 x 都具有性质 p 要么有的 x 不具有性质 p ；要么所有 x 都不具有性质 p 要么有的 x 具有性质 p 。
* 直言命题中的单称命题：某个 x 要么具有 p 要么不具有 p 。即对一个个体词 <math>x</math> 及描述性质的谓词 <math>p</math> ，这一个体要么具有这一性质（即命题 <math>p(x)</math> ）要么不具有这一性质（即命题 <math>\lnot p(x)</math> ）。