排中律
| 排中律 | |
|---|---|
| 术语名称 | 排中律 |
| 英语名称 | law of excluded middle |
| 别名 | principle of excluded middle, law of the excluded third, principle of the excluded third, LEM, 非中律 |
排中律(law of excluded middle ，或 law of the excluded third ，其中 third 直接来自拉丁语 principium tertii exclusi )是古典逻辑三大基本规律之一，指对任何命题而言，不能同时拒绝一个命题及其否命题，或者说一个命题要么真要么假，不存在同时不成立的情况，即“要么 A 要么非 A”。
定理
永真式 [math]\displaystyle{ \vDash P \lor \lnot P }[/math] 称为排中律(law of excluded middle)，简写为 LEM 。
在谓词逻辑中，排中律表现为： [math]\displaystyle{ \vDash \forall x (P(x) \lor \lnot P(x)) }[/math] 。
意义
- 在自然演绎系统中，排中律常作为基本推理规则或定理出现。
- 在 Hilbert 系统中，排中律通常作为一个重要的公理或定理。
- 排中律与同一律、矛盾律共同构成古典逻辑三大基本规律。在古典逻辑中：
- 排中律和双重否定消去一样，都可以作为反证法的基础：
- 反证法通过证明 [math]\displaystyle{ \lnot A }[/math] 导致矛盾，即 [math]\displaystyle{ \lnot A }[/math] 为假，即 [math]\displaystyle{ \lnot(\lnot A) }[/math] 。隐式使用双重否定消去从而得到结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] ；也可以认为排中律 [math]\displaystyle{ A\lor \lnot A }[/math] 在有 [math]\displaystyle{ \lnot(\lnot A) }[/math] 时通过选言三段论得到了 [math]\displaystyle{ A }[/math] 。
- 因此，反证法的有效性依赖于排中律。
非经典逻辑中的情况
- 直觉主义逻辑明确拒绝排中律，这也是直觉主义逻辑与经典逻辑的主要差别。
- 对多值逻辑，由于排中律本质是提出真值必须是两个真值之一，多值逻辑中真值超过两个时，排中律通常不成立。
- 模糊逻辑中，排中律不绝对成立，因为真值度连续变化。
其他表述
排中律的表述仅要求两个命题互为否定，可以扩展到命题逻辑外的逻辑领域中，并替换为一对互为否定的命题：
- 模态命题：要么必然 A 要么可能非 A ；要么可能 A 要么必然非 A 。
- 直言命题中的 A 与 O 、 E 与 I ：要么所有 x 都具有性质 p 要么有的 x 不具有性质 p ；要么所有 x 都不具有性质 p 要么有的 x 具有性质 p 。
- 直言命题中的单称命题：某个 x 要么具有 p 要么不具有 p 。即对一个个体词 [math]\displaystyle{ x }[/math] 及描述性质的谓词 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，这一个体要么具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ）要么不具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ \lnot p(x) }[/math] ）。