查看“︁排列”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=排列
|eng_name=permutation
}}
'''排列'''('''permutation''')指有限集上的[[置换]](permutation)。

<blockquote>
本词条所述“排列(permutation)”指有限集上的[[置换]](permutation)。
不是指组合数学中排列组合中的[[排列（组合数学）]](arrangement)。
</blockquote>

== 定义 ==

对有限集 <math>X</math> 上的变换 <math>f: X\to X</math> ，若映射 <math>f</math> 是双射，则称为集合 <math>X</math> 上的一个'''排列'''('''permutation''')。

注：排列是有限集上的置换（双射变换），有限集上的全体排列构成的就是有限集上的[[对称群]]。

排列作为映射的[[复合（映射）|复合]]、[[迭代（映射）|迭代]]、[[逆映射|逆]]也称为排列的'''复合'''('''composition''')/'''乘积'''、'''迭代'''('''iteration''')、'''逆'''('''inverse''')，分别记作 <math>\sigma\tau</math> （或 <math>\sigma\cdot\tau</math> ）、 <math>\sigma^k</math> 、 <math>\sigma^{-1}</math> 。

== 排列记号 ==

=== Cauchy 双行记号 ===

考虑排列时，对于含 <math>n</math> 个元素的有限集，常将其记作 <math>\{\mathbf{1},\mathbf{2},\cdots,\mathbf{n}\}</math> ，并且将排列前后对应关系，按原像顺序写成两行，类似矩阵的形式：

<math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\
\end{pmatrix}
</math>

其中位置 <math>1</math> 和 <math>a_1</math> 对应，表示把 <math>\mathbf{1}</math> 映射到第 <math>a_1</math> 个位置，以此类推。（理论上顺序不影响，但很少见有人不按照原像排序）

如 <math>
\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
6&5&3&2&4&1\\
\end{pmatrix}
</math> 。

=== 单行记号 ===

直接按照原像的顺序，将对应的像排列为一行。

如 <math>653241</math> 。

=== 轮换记号 ===

排列中每个元素被映射到某一个位置，新的位置又被映射到下一个位置，但是集合中的位置数却是有限的，因此在一个有限序列后，一定会有一个位置（也可能是第一个）被映射回这个元素最初的位置，这样的序列是一个[[轮换]](rotation)。
轮换可以看作这个位置上的元素在这个排列的任意迭代（显然是对称群的无限[[循环群|循环]]子群）下的[[轨道]]，
且这些轨道不可能相交。

因此按照轨道之间不相交关系，排列一定可以被拆解为一些轮换。
轮换记作为从某个元素开始依次映射到的位置的序列，并记作形如 <math>(1234)</math> 的形式。

这种多个轮换的表达方式，就是排列的轮换表示。
通常将轮换写成最小元素在前的形式，且按照涉及最小元素的顺序排列，并省略恒等置换，但是这不是必须的。

如
<math>
(16)(254)
</math>

由于这个例子中 <math>\mathbf{3}\mapsto\mathbf{3}</math> ，有一个轮换是恒等置换省略掉了。严格地说，分解时每个省略掉的位置上都有一个 1-轮换作为恒等置换被省略掉了。


{{有限群理论}}