排列
| 排列 | |
|---|---|
| 术语名称 | 排列 |
| 英语名称 | permutation |
排列(permutation)指有限集上的置换(permutation)。
本词条所述“排列(permutation)”指有限集上的置换(permutation)。 不是指组合数学中排列组合中的排列（组合数学）(arrangement)。
定义
对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的变换 [math]\displaystyle{ f: X\to X }[/math] ，若映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是双射，则称为集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的一个排列(permutation)。
注：排列是有限集上的置换（双射变换），有限集上的全体排列构成的就是有限集上的对称群。
排列作为映射的复合、迭代、逆也称为排列的复合(composition)/乘积、迭代(iteration)、逆(inverse)，分别记作 [math]\displaystyle{ \sigma\tau }[/math] （或 [math]\displaystyle{ \sigma\cdot\tau }[/math] ）、 [math]\displaystyle{ \sigma^k }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sigma^{-1} }[/math] 。
排列记号
Cauchy 双行记号
考虑排列时，对于含 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的有限集，常将其记作 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{1},\mathbf{2},\cdots,\mathbf{n}\} }[/math] ，并且将排列前后对应关系，按原像顺序写成两行，类似矩阵的形式：
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ \end{pmatrix} }[/math]
其中位置 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] 对应，表示把 [math]\displaystyle{ \mathbf{1} }[/math] 映射到第 [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] 个位置，以此类推。（理论上顺序不影响，但很少见有人不按照原像排序）
如 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 6&5&3&2&4&1\\ \end{pmatrix} }[/math] 。
单行记号
直接按照原像的顺序，将对应的像排列为一行。
如 [math]\displaystyle{ 653241 }[/math] 。
轮换记号
排列中每个元素被映射到某一个位置，新的位置又被映射到下一个位置，但是集合中的位置数却是有限的，因此在一个有限序列后，一定会有一个位置（也可能是第一个）被映射回这个元素最初的位置，这样的序列是一个轮换(rotation)。 轮换可以看作这个位置上的元素在这个排列的任意迭代（显然是对称群的无限循环子群）下的轨道， 且这些轨道不可能相交。
因此按照轨道之间不相交关系，排列一定可以被拆解为一些轮换。 轮换记作为从某个元素开始依次映射到的位置的序列，并记作形如 [math]\displaystyle{ (1234) }[/math] 的形式。
这种多个轮换的表达方式，就是排列的轮换表示。 通常将轮换写成最小元素在前的形式，且按照涉及最小元素的顺序排列，并省略恒等置换，但是这不是必须的。
如 [math]\displaystyle{ (16)(254) }[/math]
由于这个例子中 [math]\displaystyle{ \mathbf{3}\mapsto\mathbf{3} }[/math] ，有一个轮换是恒等置换省略掉了。严格地说，分解时每个省略掉的位置上都有一个 1-轮换作为恒等置换被省略掉了。
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