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[[分类:公理算术系统]]
在[[皮亚诺公理]]的基础上构造[[整数集]]，可行的过程有多种方式，下面主要介绍其中两种。

== 公理（传统定义） ==

* 这种方法较直觉，通常用于教学；
* 依赖自然数上的加法、乘法、减法、序；
* 由于分类情况较多，不适合公理化和自动推理。

有符合 Peano 公理及相应加法公理、乘法公理、序公理的[[自然数集]] <math>N</math>，其中零为 <math>\mathbf{0}</math> ，对应的[[正整数集]] <math>P=N\setminus \{\mathbf{0}\}</math> 。
记某抽象的[[逆映射|可逆]][[映射]] <math>\psi</math> ，把 <math>P</math> [[双射|一一对应]]到一个与 <math>N</math> [[不相交|不交]]的集合 <math>P^-</math> ，称为[[负整数集]]。此时记 <math>Z = N \cup P^- = P \cup \{\mathbf{0}\} \cup P^-</math> ，对这样的四元组 <math>\langle N, 0, S, \psi \rangle</math> 的一个模型与整数集结构相同。

=== 相反数 ===

记一元运算 <math>-: Z \to Z</math> ，满足，

<math>
-x =
\begin{cases}
\phi(x) &, x\in P \\
\mathbf{0} &, x = \mathbf{0} \\
\phi^{-1}(x) &, x\in P^-
\end{cases}
</math>

其模型相当于整数集的相反数运算。

=== 整数的加法（传统） ===

定义二元运算 <math>+: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
a + b =
\begin{cases}
a +_N b &, a\in N, b\in N \\
-((-a) +_N (-b)) &, a\in P^-, b\in P^- \\
\mathbf{0} &, a\in N, b\in P^-, a = (-b) \\
a -_N (-b) &, a\in N, b\in P^-, (-b) <_N a \\
-((-b) -_N a) &, a\in N, b\in P^-, a <_N (-b) \\
\mathbf{0} &, a\in P^-, b\in N, (-a) = b \\
b -_N (-a) &, a\in P^-, b\in N, (-a) <_N b \\
-((-a) -_N b) &, a\in P^-, b\in N, b <_N (-a)
\end{cases}
</math>

其中等式右侧的 <math>+_N</math> 、 <math>-_N</math> 、 <math><_N</math> 是自然数的加法、[[减法]]、小于，此外仅涉及整数的相反数运算。其模型相当于整数集上的加法运算。

显然与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算有[[交换性]]、[[结合性]]，且[[可消去]]、有幺元 [[0]]。

=== 整数的乘法（传统） ===

定义二元运算 <math>\times: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
a \times b =
\begin{cases}
a \times_N b &, a\in N, b\in N \\
(-a) \times_N (-b) &, a\in P^-, b\in P^- \\
-(a \times_N (-b)) &, a\in N, b\in P^- \\
-((-a) \times_N b) &, a\in P^-, b\in N \\
\end{cases}
</math>

其中等式右侧的 <math>\times_N</math> 是自然数的乘法，此外仅涉及整数的相反数运算。其模型相当于整数集上的乘法运算。

显然与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性、对整数加法的[[分配性]]，且[[可消去]]、有幺元 [[1]]。

=== 整数的序（传统） ===

记二元关系 <math>< \subseteq Z\times Z</math> ，满足：

<math>
\begin{align}
(a < b) \leftrightarrow & (a \in N \land b\in N \land a <_N b) \\
& \lor (a \in P^- \land b \in P^- \land (-b) <_N (-a)) \\
& \lor (a \in P^- \land b \in N)
\end{align}
</math>

其中， <math><_N</math> 是自然数上的小于关系。其模型与整数集上的小于关系结构相同。

显然与自然数的序关系兼容。可证明这个关系是[[严格全序]]，且有[[三歧性]]。

== 公理（等价类定义） ==

* 这种方法不太直觉，但比较标准和通用；
* 依赖自然数上的加法、乘法、序；
* 表示形式统一，相对适合公理化和推理。

有符合 Peano 公理及相应加法公理、乘法公理、序公理的[[自然数集]] <math>N</math>，其中零为 <math>\mathbf{0}</math> 。

定义笛卡尔积 <math>N\times N = \{(a,b) \mid a,b \in N\}</math> 上的关系 <math>\sim </math> ，满足 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c</math> ，则定义整数集 <math>Z</math> 为[[商集]] <math>(N\times N) / \sim</math> 。

=== 自然数嵌入 ===

根据自然数上序的三歧性，总是将两数中较大者表示为较小数与另一个自然数之和。可以得出， <math>Z</math> 中的每个元素都有一个代表元有 <math>(a,\mathbf{0})</math> 或 <math>(\mathbf{0},a)</math> 的形式。其中前一类按 <math>a</math> 的取值和自然数同构，因此可以通过 <math>\iota: N\to Z; a \mapsto [(a,\mathbf{0})]</math> 将集合 <math>N</math> 嵌入 <math>Z</math> 。

在使用整数集时，把自然数 <math>a</math> 所嵌入的 <math>[(a,\mathbf{0})]</math> 也简记作整数 <math>a</math> ， <math>[(\mathbf{0},a)]</math> 简记作整数 <math>-a</math> 。

=== 整数的加法 ===

定义二元运算 <math>+: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] + [(c,d)] = [(a +_N c, b +_N d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>+_N</math> 是自然数上的加法。其模型相当于整数集上的加法运算。

可证明良定义且与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算有[[交换性]]、[[结合性]]，且[[可消去]]、有幺元 [[0]]。

=== 整数的乘法 ===

定义二元运算 <math>\times: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c +_N b \times_N d, a \times_N d +_N b \times_N c)]
</math>

其中等式右侧的 <math>\times_N</math> 是自然数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性、对整数加法的[[分配性]]，且[[可消去]]、有幺元 [[1]]。

一个等价的定义方式是：

<math>
\begin{align*}
[(a,\mathbf{0})] \times [(c,\mathbf{0})] = [(a \times_N c, \mathbf{0})] \\
[(a, b)] \times [(c, d)] = [(c, d)] \times [(a, b)] \\
[(a, S_N(b))] \times [(c, d)] = [(a, b)] \times [(c, d)] + [(d, c)]
\end{align*}
</math>

其中 <math>\times_N</math> 、 <math>S_N</math> 是自然数的乘法和后继。只要通过第三式不断展开，然后通过第二式交换继续展开，直到满足第一式中第二分量为 0 的形式，就可以得到上面的公理。从上面的公理也能方便地得出这一公理，也就是说满足嵌入、交换、对整数加法分配则一定是对应的整数上乘法。

=== 整数的序 ===

记二元关系 <math>< \subseteq Z\times Z</math> ，满足：

<math>
([(a,b)] < [(b,c)]) \leftrightarrow (a +_N d <_N b +_N c)
</math>

其中， <math>+_N</math> 、 <math><_N</math> 是自然数上的加法运算和小于关系。其模型相当于整数集上的小于关系。

显然良定义且与自然数的序关系兼容。可证明这个关系是[[严格全序]]，且有[[三歧性]]。


{{数系的构造}}