整数的构造
在皮亚诺公理的基础上构造整数集，可行的过程有多种方式，下面主要介绍其中两种。
公理（传统定义）
- 这种方法较直觉，通常用于教学；
- 依赖自然数上的加法、乘法、减法、序；
- 由于分类情况较多，不适合公理化和自动推理。
有符合 Peano 公理及相应加法公理、乘法公理、序公理的自然数集 [math]\displaystyle{ N }[/math]，其中零为 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] ，对应的正整数集 [math]\displaystyle{ P=N\setminus \{\mathbf{0}\} }[/math] 。 记某抽象的可逆映射 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] ，把 [math]\displaystyle{ P }[/math] 一一对应到一个与 [math]\displaystyle{ N }[/math] 不交的集合 [math]\displaystyle{ P^- }[/math] ，称为负整数集。此时记 [math]\displaystyle{ Z = N \cup P^- = P \cup \{\mathbf{0}\} \cup P^- }[/math] ，对这样的四元组 [math]\displaystyle{ \langle N, 0, S, \psi \rangle }[/math] 的一个模型与整数集结构相同。
相反数
记一元运算 [math]\displaystyle{ -: Z \to Z }[/math] ，满足，
[math]\displaystyle{ -x = \begin{cases} \phi(x) &, x\in P \\ \mathbf{0} &, x = \mathbf{0} \\ \phi^{-1}(x) &, x\in P^- \end{cases} }[/math]
其模型相当于整数集的相反数运算。
整数的加法（传统）
定义二元运算 [math]\displaystyle{ +: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ a + b = \begin{cases} a +_N b &, a\in N, b\in N \\ -((-a) +_N (-b)) &, a\in P^-, b\in P^- \\ \mathbf{0} &, a\in N, b\in P^-, a = (-b) \\ a -_N (-b) &, a\in N, b\in P^-, (-b) \lt _N a \\ -((-b) -_N a) &, a\in N, b\in P^-, a \lt _N (-b) \\ \mathbf{0} &, a\in P^-, b\in N, (-a) = b \\ b -_N (-a) &, a\in P^-, b\in N, (-a) \lt _N b \\ -((-a) -_N b) &, a\in P^-, b\in N, b \lt _N (-a) \end{cases} }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ +_N }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -_N }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \lt _N }[/math] 是自然数的加法、减法、小于，此外仅涉及整数的相反数运算。其模型相当于整数集上的加法运算。
显然与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性，且可消去、有幺元 0。
整数的乘法（传统）
定义二元运算 [math]\displaystyle{ \times: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ a \times b = \begin{cases} a \times_N b &, a\in N, b\in N \\ (-a) \times_N (-b) &, a\in P^-, b\in P^- \\ -(a \times_N (-b)) &, a\in N, b\in P^- \\ -((-a) \times_N b) &, a\in P^-, b\in N \\ \end{cases} }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 是自然数的乘法，此外仅涉及整数的相反数运算。其模型相当于整数集上的乘法运算。
显然与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性、对整数加法的分配性，且可消去、有幺元 1。
整数的序（传统）
记二元关系 [math]\displaystyle{ \lt \subseteq Z\times Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ \begin{align} (a \lt b) \leftrightarrow & (a \in N \land b\in N \land a \lt _N b) \\ & \lor (a \in P^- \land b \in P^- \land (-b) \lt _N (-a)) \\ & \lor (a \in P^- \land b \in N) \end{align} }[/math]
其中， [math]\displaystyle{ \lt _N }[/math] 是自然数上的小于关系。其模型与整数集上的小于关系结构相同。
显然与自然数的序关系兼容。可证明这个关系是严格全序，且有三歧性。
公理（等价类定义）
- 这种方法不太直觉，但比较标准和通用；
- 依赖自然数上的加法、乘法、序；
- 表示形式统一，相对适合公理化和推理。
有符合 Peano 公理及相应加法公理、乘法公理、序公理的自然数集 [math]\displaystyle{ N }[/math]，其中零为 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] 。
定义笛卡尔积 [math]\displaystyle{ N\times N = \{(a,b) \mid a,b \in N\} }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c }[/math] ，则定义整数集 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (N\times N) / \sim }[/math] 。
自然数嵌入
根据自然数上序的三歧性，总是将两数中较大者表示为较小数与另一个自然数之和。可以得出， [math]\displaystyle{ Z }[/math] 中的每个元素都有一个代表元有 [math]\displaystyle{ (a,\mathbf{0}) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (\mathbf{0},a) }[/math] 的形式。其中前一类按 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的取值和自然数同构，因此可以通过 [math]\displaystyle{ \iota: N\to Z; a \mapsto [(a,\mathbf{0})] }[/math] 将集合 [math]\displaystyle{ N }[/math] 嵌入 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 。
在使用整数集时，把自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 所嵌入的 [math]\displaystyle{ [(a,\mathbf{0})] }[/math] 也简记作整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ， [math]\displaystyle{ [(\mathbf{0},a)] }[/math] 简记作整数 [math]\displaystyle{ -a }[/math] 。
整数的加法
定义二元运算 [math]\displaystyle{ +: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] + [(c,d)] = [(a +_N c, b +_N d)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ +_N }[/math] 是自然数上的加法。其模型相当于整数集上的加法运算。
可证明良定义且与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性，且可消去、有幺元 0。
整数的乘法
定义二元运算 [math]\displaystyle{ \times: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c +_N b \times_N d, a \times_N d +_N b \times_N c)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 是自然数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。
可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算有交换性、结合性、对整数加法的分配性，且可消去、有幺元 1。
一个等价的定义方式是：
[math]\displaystyle{ \begin{align*} [(a,\mathbf{0})] \times [(c,\mathbf{0})] = [(a \times_N c, \mathbf{0})] \\ [(a, b)] \times [(c, d)] = [(c, d)] \times [(a, b)] \\ [(a, S_N(b))] \times [(c, d)] = [(a, b)] \times [(c, d)] + [(d, c)] \end{align*} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 、 [math]\displaystyle{ S_N }[/math] 是自然数的乘法和后继。只要通过第三式不断展开，然后通过第二式交换继续展开，直到满足第一式中第二分量为 0 的形式，就可以得到上面的公理。从上面的公理也能方便地得出这一公理，也就是说满足嵌入、交换、对整数加法分配则一定是对应的整数上乘法。
整数的序
记二元关系 [math]\displaystyle{ \lt \subseteq Z\times Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ ([(a,b)] \lt [(b,c)]) \leftrightarrow (a +_N d \lt _N b +_N c) }[/math]
其中， [math]\displaystyle{ +_N }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \lt _N }[/math] 是自然数上的加法运算和小于关系。其模型相当于整数集上的小于关系。