查看“︁整除关系”︁的源代码

[[分类:整除理论]]
{{InfoBox
|name=整除
}}
{{InfoBox
|name=倍数
|eng_name=multiple
}}
{{InfoBox
|name=因数
|eng_name=divisor
|aliases=factor,约数
}}
'''整除'''关系('''divisor''')指对两个[[整数]]，相除能得到整数的[[除法|商]]；或者说其中一个整数能被表示为另一个数和某个整数之[[乘法|积]]。

[[自然数]]上也可以定义整除。

== 定义 ==

{{Relation
|name=整除
|symbol=<math>\mid</math>
|latex=\mid
|operand_relation=非零整数,整数
|prototype=偏序
|cartesian=<math>\mathbb{Z}^{*}\times\mathbb{Z}</math>
}}
对整数 <math>a \in \mathbb{Z}</math> 和非零整数 <math>b \in \mathbb{Z}^*</math> ，若 <math>(\exists q \in \mathbb{Z})(a = bq)</math> ，则称 '''<math>b</math> 整除 <math>a</math>''' ('''<math>b</math> (evenly) divides <math>a</math>''') ，或称 '''<math>a</math> 被 <math>b</math> 整除''' ('''<math>a</math> is (evenly) divisible by <math>b</math>''')，记作 <math>b \mid a</math> 。此时称 <math>b</math> 是 <math>a</math> 的'''因数'''('''divisor'''/'''factor''')， <math>a</math> 是 <math>b</math> 的'''倍数'''('''multiple''')。

注：“被……整除”的顺序和通常的“被/以……除”两个数的顺序是相同的。由于整除常用主动形式的“整除”，除法常用被动形式的“除以”，表达上会有一些差异。

注：有的定义中不要求 <math>b</math> 非零。

相反的情况，称为 '''<math>b</math> 不（能）整除 <math>a</math>''' ('''<math>b</math> does not (evenly) divide <math>a</math>''') ，或称 '''<math>a</math> 不（能）被 <math>b</math> 整除''' ('''<math>a</math> is not (evenly) divisible by <math>b</math>''')，记作 <math>b \not\mid a</math> 。

整数 <math>n</math> 的倍数所构成的集合，可以使用[[陪集]]记号记作 <math>n\mathbb{Z}</math> 。

== 性质 ==

{{InfoBox
|name=平凡因数
|eng_name=trivial divisor
|aliases=trivial factor,显然因数
}}
{{InfoBox
|name=非平凡因数
|eng_name=non-trivial divisors
|aliases=non-trivial factors,非显然因数
}}
* 0 是任意（非零）整数的倍数。
* 定义在正整数、自然数、某个数的因数集时，整除是一种[[偏序]]：
** [[自反关系|自反]]：任意一个整数 <math>a</math> 有 <math>a\mid a</math> 。
** [[对称关系|对称]]：任意两个整数 <math>a \mid b \land b \mid a \rightarrow a = b</math> 。
*** 在非零整数或全体整数上时 <math>a \mid b \land b \mid a \rightarrow a = b \lor a = -b</math> 。
** [[传递关系|传递]]：任意三个整数 <math>a \mid b \land b \mid c \rightarrow a \mid c</math> 。
* 对整数 <math>b</math> ，有 <math>1, -1, b, -b </math> 四个数一定是其因数；自然数中则有 <math>1, b</math> 是其因数。每个这样的因数称为其一个'''平凡因数'''('''trivial divisor''')，一个不是平凡因数的因数称为其一个'''非平凡因数'''('''non-trivial/strict divisor''')。
** 对正整数，与自身不等的因数也叫做'''真因数'''('''proper divisor'''/'''aliquot part''')，与自身不等的非因数也称为 '''aliquant part''' 。
* 对整数 <math>a</math> ，若 <math>d</math> 取遍 <math>a</math> 的全部因数，同时 <math>a/d</math> 也一定取遍 <math>a</math> 的全部因数。


{{整除与质数}}