整除关系
| 整除 | |
|---|---|
| 术语名称 | 整除 |
| 英语名称 | divisibility |
| 倍数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 倍数 |
| 英语名称 | multiple |
| 因数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 因数 |
| 英语名称 | divisor |
| 别名 | factor, 约数 |
整除关系(divisibility relation)指对两个（非零）整数，相除能得到整数的商；或者说其中一个整数能被表示为另一个数和某个整数之积。
定义
整除有两种不等价的定义，没有明确的名称。为了区别，本 wiki 将其命名为带余除法定义（即余数为 0 ）和乘法定义（只要求乘积形式）。两种定义的动机不同，对应有区别的两个定义体系。但形式上的区别仅在于整数是否非零。
前一种定义在数论教材中更常见，后一种定义作为序关系有更良好的性质，在抽象代数中更常见。本 wiki 中将按照乘法定义讨论，并注明不含零的情况。
带余除法定义
| 整除 | |
|---|---|
| 关系名称 | 整除 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \mid }[/math] |
| Latex | \mid
|
| 关系对象 | 非零整数, 整数 |
| 关系元数 | 2 |
| 全集 | [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^{*}\times\mathbb{Z} }[/math] |
对整数 [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] 和非零整数 [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{Z}^* }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists q \in \mathbb{Z})(a = bq) }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ b }[/math] 整除 [math]\displaystyle{ a }[/math] ([math]\displaystyle{ b }[/math] (evenly) divides [math]\displaystyle{ a }[/math]) ，或称 [math]\displaystyle{ a }[/math] 被 [math]\displaystyle{ b }[/math] 整除 ([math]\displaystyle{ a }[/math] is (evenly) divisible by [math]\displaystyle{ b }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ b \mid a }[/math] 。此时称 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的因数(divisor/factor)， [math]\displaystyle{ a }[/math] 是 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的倍数(multiple)。
注：“被……整除”的顺序和通常的“被/以……除”“按……分成份”中两个数的顺序是相同的。由于整除常用主动形式的“整除”，除法常用被动形式的“除以”，表达上会有一些差异。
乘法定义
| 整除 | |
|---|---|
| 关系名称 | 整除 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \mid }[/math] |
| Latex | \mid
|
| 关系对象 | 整数 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 偏序 |
| 全集 | [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} }[/math] |
对整数 [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists q \in \mathbb{Z})(a = bq) }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ b }[/math] 整除 [math]\displaystyle{ a }[/math] ([math]\displaystyle{ b }[/math] (evenly) divides [math]\displaystyle{ a }[/math]) ，或称 [math]\displaystyle{ a }[/math] 被 [math]\displaystyle{ b }[/math] 整除 ([math]\displaystyle{ a }[/math] is (evenly) divisible by [math]\displaystyle{ b }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ b \mid a }[/math] 。此时称 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的因数(divisor/factor)， [math]\displaystyle{ a }[/math] 是 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的倍数(multiple)。
相关定义
相反的情况，称为 [math]\displaystyle{ b }[/math] 不（能）整除 [math]\displaystyle{ a }[/math] ([math]\displaystyle{ b }[/math] does not (evenly) divide [math]\displaystyle{ a }[/math]) ，或称 [math]\displaystyle{ a }[/math] 不（能）被 [math]\displaystyle{ b }[/math] 整除 ([math]\displaystyle{ a }[/math] is not (evenly) divisible by [math]\displaystyle{ b }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ b \not\mid a }[/math] 。
整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的倍数所构成的集合，可以使用陪集记号记作 [math]\displaystyle{ n\mathbb{Z} }[/math] 。
性质
| 平凡因数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡因数 |
| 英语名称 | trivial divisor |
| 别名 | trivial factor, 显然因数 |
| 非平凡因数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非平凡因数 |
| 英语名称 | non-trivial divisors |
| 别名 | non-trivial factors, 非显然因数 |
- 0 是任意整数的倍数，而 0 的倍数仅有 0 。
- 基于带余除法定义时， 0 是任意非零整数的倍数，而 0 的倍数无意义。
- ±1 是任意整数的因数，而 ±1 的因数仅有 ±1 。
- 定义在正整数、自然数、某个数的因数集时，整除是一种偏序：
- 自反：对任意整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有 [math]\displaystyle{ a\mid a }[/math] 。
- 基于带余除法定义时，仅在非零整数上是自反的。
- 反对称：任意两个整数 [math]\displaystyle{ a \mid b \land b \mid a \rightarrow a = b }[/math] 。
- 必须限制范围，涉及非零整数或全体整数上时， [math]\displaystyle{ a \mid b \land b \mid a \rightarrow a = b \lor a = -b }[/math] 。
- 传递：任意三个整数 [math]\displaystyle{ a \mid b \land b \mid c \rightarrow a \mid c }[/math] 。
- 自反：对任意整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有 [math]\displaystyle{ a\mid a }[/math] 。
- 对整数 [math]\displaystyle{ b }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ 1, -1, b, -b }[/math] 一定是其因数；自然数范围则有 [math]\displaystyle{ 1, b }[/math] 是其因数。每个这样的因数称为其一个平凡因数(trivial divisor)，一个不是平凡因数的因数称为其一个非平凡因数(non-trivial/strict divisor)。
- 对正整数，与自身不等的因数也叫做真因数(proper divisor/aliquot part)。传统上与 aliquot ，非因数称为 aliquant part 。
- 对非零整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ d }[/math] 取遍 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的全部因数，同时 [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{d} }[/math] 也一定取遍 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的全部因数。