查看“︁无零因子环”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=无零因子环
|eng_name=ring without zero divisors
|aliases=ring without zero-divisors
}}
'''无零因子环'''('''ring without zero divisors''')是[[环]]且没有非平凡[[零因子]]，或者说[[零元]]以外都是[[非零因子|非零因子/正则元]]。

<blockquote>
关于环是否有幺元，定义上有一定争议。
本 wiki 采用的体系中，环默认是有幺元的，因此术语有差异。
但是“无零因子”所增加的要求是一致的。

在不默认有幺元的体系下，对应的称呼是无零因子幺环。
</blockquote>

<blockquote>
关于零因子是否包括零元，定义上有一定争议。
本 wiki 采用的体系中，非零元的零因子称为非平凡零因子，因此术语有差异。
但是“无零因子”所增加的要求中，都是没有非零元的零因子。

在零因子不包括零元的体系下，也说非零元都不是零因子，或者两个非零元乘法不会得到零元。
</blockquote>

等价于这个环中一切非零元都是乘法[[可消去]]的。

== 定义 ==

对环 <math>R</math> ，若 <math>R</math> 中没有非平凡的零因子，称环 <math>R</math> 是一个'''无零因子环'''('''ring without zero divisors''')。

注：没有非平凡的零因子，即 <math>(\forall a \in R\setminus \{0_R\}) (\forall b\in R\setminus \{0_R\}) (ab \neq 0 \land ba \neq 0)</math> ，等价于 <math>(\forall a,b \in R) (ab = 0_R \rightarrow a=0_R \lor b=0_R)</math> 。

== 性质 ==

环中左（右）消去律成立，或者无左（右）零因子，都能推出环一定是无零因子环。

无零因子环满足对非零元的乘法消去律。


{{环与模与域}}