无零因子环
| 无零因子环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 无零因子环 |
| 英语名称 | ring without zero divisors |
| 别名 | ring without zero-divisors |
无零因子环(ring without zero divisors)是环且没有非平凡零因子，或者说零元以外都是非零因子/正则元。
关于环是否有幺元，定义上有一定争议。 本 wiki 采用的体系中，环默认是有幺元的，因此术语有差异。 但是“无零因子”所增加的要求是一致的。
在不默认有幺元的体系下，对应的称呼是无零因子幺环。
关于零因子是否包括零元，定义上有一定争议。 本 wiki 采用的体系中，非零元的零因子称为非平凡零因子，因此术语有差异。 但是“无零因子”所增加的要求中，都是没有非零元的零因子。
在零因子不包括零元的体系下，也说非零元都不是零因子，或者两个非零元乘法不会得到零元。
等价于这个环中一切非零元都是乘法可消去的。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中没有非平凡的零因子，称环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个无零因子环(ring without zero divisors)。
注：没有非平凡的零因子，即 [math]\displaystyle{ (\forall a \in R\setminus \{0_R\}) (\forall b\in R\setminus \{0_R\}) (ab \neq 0 \land ba \neq 0) }[/math] ，等价于 [math]\displaystyle{ (\forall a,b \in R) (ab = 0_R \rightarrow a=0_R \lor b=0_R) }[/math] 。
性质
环中左（右）消去律成立，或者无左（右）零因子，都能推出环一定是无零因子环。
无零因子环满足对非零元的乘法消去律。