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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:zui4da4yuan2zui4xiao3yuan2}}
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|keywords=最大元, 最小元, 最值元素
|description=本文介绍最大元和最小元的定义、性质及其在序理论中的应用，包括与极大元和极小元的区别、存在性和唯一性条件。
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|published_time=2024-02-28
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|name=最大元
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'''最大元'''('''greatest element''')和'''最小元'''('''least element''')指[[预序]]集中，对一个子集（或预序集本身），大于等于或小于等于其中所有元素的某个元素。
有时也合称'''最值元素'''。

最大元与最小元互为[[对偶（序理论）|对偶]]。

区别于[[极大元、极小元]]。

== 定义 ==

对预序集 <math>(P, \preceq)</math> 及其任意子集 <math>S\subseteq P</math> ，
* 若对某元素 <math>m \in S</math> ，有 <math>(\forall s \in S) (s \preceq m)</math> ，则称元素 <math>m</math> 是 <math>S</math> 中的一个'''最大元'''('''greatest element''')；
* 若对某元素 <math>m \in S</math> ，有 <math>(\forall s \in S) (m \preceq s)</math> ，则称元素 <math>m</math> 是 <math>S</math> 中的一个'''最小元'''('''least element''')。

上述 <math>S</math> 可以是预序集 <math>P</math> 本身，此时称元素 <math>m</math> 是 <math>P</math> 中的一个最大元或一个最小元。
[[上有向集]]中的最大元和下有向集中的最小元若存在则唯一，此时称元素 <math>s</math> 是有向集 <math>P</math> 中的'''最大元'''(the '''greatest element''')或'''最小元'''(the '''least element''')。

== 性质 ==

* 基本特征
** 子集中大于等于所有其他元素的元素是最大元，小于等于所有其他元素的元素是极小元。
** 最大元和最小元都不一定存在，如果存在也不一定唯一。可以有多个元素互相大于等于（小于等于），并大于等于（小于等于）其他元素。
*** 有向集中，上界性质决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元和最小元，一定唯一。
*** [[偏序]]集中，反对称性决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元则唯一。
*** [[有限]]全序集中，一定存在最大元和最小元。
*** [[良序]]集中总是有最小元。
** 最大元和最小元在给定子集中，是相对给定子集而言的。
* 与极值元素的关系：
** 最大元一定是极大元，但极大元不一定是最大元；最小元一定是极小元，但极小元不一定是最小元。
** 在[[全序集]]中，极大元与最大元等价，极小元与最小元等价。
** 如果子集有最大元，则这些最大元都是极大元且无其他极大元；同样，如果子集有最小元，则这些最小元都是极小元且无其他极小元。
* 与[[上确界、下确界]]的关系：
** 最大元若存在则等于上确界，最小元若存在则等于下确界。
** 上确界和下确界不一定在子集中，但如果在子集中，就是最大元和最小元。
* 运算性质
** 若 <math>A\subseteq B</math> ，且 <math>A,B</math> 中都有最大元，则 <math>A</math> 的最大元 ≤ <math>B</math> 的最大元；反过来若都有最小元，则 <math>B</math> 的最小元 ≤ <math>A</math> 的最小元。
** 多个集合的并集的最大元是它们各自最大元构成集合中的最大元。


{{二元关系复合类型}}