最大元、最小元

最大元
术语名称	最大元
英语名称	greatest element

最小元
术语名称	最小元
英语名称	least element

最大元(greatest element)和最小元(least element)指预序集中，对一个子集（或预序集本身），大于等于或小于等于其中所有元素的某个元素。有时也合称最值元素。

最大元与最小元互为对偶。

区别于极大元、极小元。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其任意子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，

若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S) (s \preceq m) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个最大元(greatest element)；
若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S) (m \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个最小元(least element)。

上述 [math]\displaystyle{ S }[/math] 可以是预序集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 本身，此时称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中的一个最大元或一个最小元。上有向集中的最大元和下有向集中的最小元若存在则唯一，此时称元素 [math]\displaystyle{ s }[/math] 是有向集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中的最大元(the greatest element)或最小元(the least element)。

性质

基本特征
- 子集中大于等于所有其他元素的元素是最大元，小于等于所有其他元素的元素是极小元。
- 最大元和最小元都不一定存在，如果存在也不一定唯一。可以有多个元素互相大于等于（小于等于），并大于等于（小于等于）其他元素。
  - 有向集中，上界性质决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元和最小元，一定唯一。
  - 偏序集中，反对称性决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元则唯一。
  - 有限全序集中，一定存在最大元和最小元。
  - 良序集中总是有最小元。
- 最大元和最小元在给定子集中，是相对给定子集而言的。
与极值元素的关系：
- 最大元一定是极大元，但极大元不一定是最大元；最小元一定是极小元，但极小元不一定是最小元。
- 在全序集中，极大元与最大元等价，极小元与最小元等价。
- 如果子集有最大元，则这些最大元都是极大元且无其他极大元；同样，如果子集有最小元，则这些最小元都是极小元且无其他极小元。
与上确界、下确界的关系：
- 最大元若存在则等于上确界，最小元若存在则等于下确界。
- 上确界和下确界不一定在子集中，但如果在子集中，就是最大元和最小元。
运算性质
- 若 [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ A,B }[/math] 中都有最大元，则 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的最大元 ≤ [math]\displaystyle{ B }[/math] 的最大元；反过来若都有最小元，则 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的最小元 ≤ [math]\displaystyle{ A }[/math] 的最小元。
- 多个集合的并集的最大元是它们各自最大元构成集合中的最大元。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全