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[[分类:公理算术系统]]
在由[[整数的构造]]得到的[[整数集]]的基础上构造[[有理数集]]，可行的过程有多种方式，下面主要介绍其中一种。

== 公理 ==

有含有相应加法、乘法、序定义的[[整数集]] <math>Z</math>，其中零为 <math>\mathbf{0}</math> 。

定义笛卡尔积 <math>Z \times Z^* = \{(a,b) \mid a,b \in Z, b \neq \mathbf{0} \}</math> 上的关系 <math>\sim </math> ，满足 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c</math> ，则定义有理数集 <math>Q</math> 为[[商集]] <math>(Z \times Z^*) / \sim</math> 。

=== 整数嵌入 ===

定义 <math>\iota: Z\to Q; a \mapsto [(a,\mathbf{1})]</math> 将集合 <math>Z</math> 嵌入 <math>Q</math> 。

=== 有理数的加法 ===

定义二元运算 <math>+: Q\times Q\to Q</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] + [(c,d)] = [(a \times_Z d +_Z c \times_Z b, b \times_Z d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>+_Z</math> 、 <math>\times_Z</math> 是整数上的加法和乘法。其模型相当于有理数集上的加法运算。

可证明良定义且与整数的加法运算兼容。可证明这个运算满足[[交换律]]、[[结合律]]、[[消去律]]，有幺元 [[0]]。

=== 有理数的乘法 ===

定义二元运算 <math>\times: Q\times Q\to Q</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c, b \times_N d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>\times_N</math> 是整数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算满足交换律、结合律、对有理数加法的[[分配律]]，有幺元 [[1]] 、零元 [[0]] 。

=== 有理数的序 ===

记二元关系 <math>< \subseteq Q\times Q</math> ，满足：

<math>
\begin{align}
([(a,b)] < [(b,c)]) \leftrightarrow & (b \times_Z d > 0) \land (a \times_Z d <_Z b \times_Z c)\\
& \lor (b \times_Z d < 0) \land (b \times_Z c <_Z a \times_Z d)
\end{align}
</math>

其中， <math><_N</math> 是整数的小于关系。其模型相当于有理数集上的小于关系。

显然良定义且与整数的序关系兼容。可证明这个关系是[[严格全序]]。


{{数系的构造}}