有理数的构造
在由整数的构造得到的整数集的基础上构造有理数集，可行的过程有多种方式，下面主要介绍其中一种。
公理
有含有相应加法、乘法、序定义的整数集 [math]\displaystyle{ Z }[/math]，其中零为 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] 。
定义笛卡尔积 [math]\displaystyle{ Z \times Z^* = \{(a,b) \mid a,b \in Z, b \neq \mathbf{0} \} }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c }[/math] ，则定义有理数集 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (Z \times Z^*) / \sim }[/math] 。
整数嵌入
定义 [math]\displaystyle{ \iota: Z\to Q; a \mapsto [(a,\mathbf{1})] }[/math] 将集合 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 嵌入 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 。
有理数的加法
定义二元运算 [math]\displaystyle{ +: Q\times Q\to Q }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] + [(c,d)] = [(a \times_Z d +_Z c \times_Z b, b \times_Z d)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ +_Z }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \times_Z }[/math] 是整数上的加法和乘法。其模型相当于有理数集上的加法运算。
可证明良定义且与整数的加法运算兼容。可证明这个运算满足交换律、结合律、消去律，有幺元 0。
有理数的乘法
定义二元运算 [math]\displaystyle{ \times: Q\times Q\to Q }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c, b \times_N d)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 是整数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。
可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算满足交换律、结合律、对有理数加法的分配律，有幺元 1 、零元 0 。
有理数的序
记二元关系 [math]\displaystyle{ \lt \subseteq Q\times Q }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ \begin{align} ([(a,b)] \lt [(b,c)]) \leftrightarrow & (b \times_Z d \gt 0) \land (a \times_Z d \lt _Z b \times_Z c)\\ & \lor (b \times_Z d \lt 0) \land (b \times_Z c \lt _Z a \times_Z d) \end{align} }[/math]
其中， [math]\displaystyle{ \lt _N }[/math] 是整数的小于关系。其模型相当于有理数集上的小于关系。
显然良定义且与整数的序关系兼容。可证明这个关系是严格全序。