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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:ji2da4yuan2ji2xiao3yuan2}}
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|keywords=极大元, 极小元, 极值元素
|description=本文介绍极大元和极小元的定义、性质及其在序理论中的应用，包括与最大元和最小元的区别、存在性和唯一性条件。
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|published_time=2024-02-28
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'''极大元'''('''maximal element''')和'''极小元'''('''minimal element''')指[[预序]]集中，对一个子集（或预序集本身），不小于等于或大于等于其他任意元素的某个元素。
或者说，在这个子集中没有其他元素比它更大或更小。有时也合称'''极值元素'''。

极大元与极小元互为[[对偶（序理论）|对偶]]。

区别于[[最大元、最小元（序理论）]]。

== 定义 ==

对预序集 <math>(P, \preceq)</math> 及其任意子集 <math>S\subseteq P</math> ，
* 若对某元素 <math>m \in S</math> ，有 <math>(\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (s \preceq m)</math> ，则称元素 <math>m</math> 是 <math>S</math> 中的一个'''极大元'''('''maximal element''')；
* 若对某元素 <math>m \in S</math> ，有 <math>(\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (m \preceq s)</math> ，则称元素 <math>m</math> 是 <math>S</math> 中的一个'''极小元'''('''minimal element''')。

上述 <math>S</math> 可以是预序集 <math>P</math> 本身，此时称元素 <math>m</math> 是 <math>P</math> 中的一个极大元或极小元。
如果上下文没有明确指出子集，则可以默认子集指定为预序集本身。

== 性质 ==

* 基本特征
** 子集中没有其他元素严格大于极大元，也没有其他元素严格小于极小元。此处“严格大于”和“严格小于”定义为预序关系仅单向成立，即 <math>s \preceq m \land m\npreceq s</math> 。
** 极大元和极小元都不一定存在，如果存在也不一定唯一。
*** 但是在有限预序集中一定存在。
*** [[Zorn 引理]]：若[[偏序]]集中每个[[链]]都有[[上界]]（下界），则存在极大元（极小元）。
** 极大元和极小元在给定子集中，是相对给定子集而言的。
* 与最值元素的关系：
** 最大元一定是极大元，但极大元不一定是最大元；最小元一定是极小元，但极小元不一定是最小元。
** 在[[全序集]]中，极大元与最大元等价，极小元与最小元等价。
** 如果子集有最大元，则这些最大元都是极大元且无其他极大元；同样，如果子集有最小元，则这些最小元都是极小元且无其他极小元。
* 运算性质
** 多个集合的并集中，极大元（极小元）是各自极大元（极小元）集合并集的子集。


{{二元关系复合类型}}