极大元、极小元

极大元
术语名称	极大元
英语名称	maximal element

极小元
术语名称	极小元
英语名称	minimal element

极大元(maximal element)和极小元(minimal element)指预序集中，对一个子集（或预序集本身），不小于等于或大于等于其他任意元素的某个元素。 或者说，在这个子集中没有其他元素比它更大或更小。有时也合称极值元素。

极大元与极小元互为对偶。

区别于最大元、最小元（序理论）。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其任意子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，

• 若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (s \preceq m) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个极大元(maximal element)；
• 若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (m \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个极小元(minimal element)。

上述 [math]\displaystyle{ S }[/math] 可以是预序集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 本身，此时称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中的一个极大元或极小元。 如果上下文没有明确指出子集，则可以默认子集指定为预序集本身。

性质

• 基本特征
  • 子集中没有其他元素严格大于极大元，也没有其他元素严格小于极小元。此处“严格大于”和“严格小于”定义为预序关系仅单向成立，即 [math]\displaystyle{ s \preceq m \land m\npreceq s }[/math] 。
  • 极大元和极小元都不一定存在，如果存在也不一定唯一。
    • 但是在有限预序集中一定存在。
    • Zorn 引理：若偏序集中每个链都有上界（下界），则存在极大元（极小元）。
  • 极大元和极小元在给定子集中，是相对给定子集而言的。
• 与最值元素的关系：
  • 最大元一定是极大元，但极大元不一定是最大元；最小元一定是极小元，但极小元不一定是最小元。
  • 在全序集中，极大元与最大元等价，极小元与最小元等价。
  • 如果子集有最大元，则这些最大元都是极大元且无其他极大元；同样，如果子集有最小元，则这些最小元都是极小元且无其他极小元。
• 运算性质
  • 多个集合的并集中，极大元（极小元）是各自极大元（极小元）集合并集的子集。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全