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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=极大理想
|eng_name=maximal ideal
}}
'''极大理想'''('''maximal ideal''')指[[环]]中的一个[[理想]]，既不是环自身，也找不到环自身以外比它更大的理想。

== 定义 ==

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及其真理想 <math>I \subsetneq R</> ，如果不存在 <math>R</math> 的真子集满足 <math>I \subsetneq R </math> 且也是 <math>R</math> 的理想，则称子集 <math>I</math> 是环 <math>R</math> 的一个'''极大理想'''('''maximal ideal''')。

注：也可以表述为，对 <math>R</math> 的任意理想 <math>I'</math> ，如果 <math>I\subseteq I'</math> ，则 <math>I' = I \lor I' = R</math> 。

=== 等价定义 ===

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及其真理想 <math>I \neq (1)</math> ，若 <math>R/I</math> 是[[域]]，则称子集 <math>I</math> 是环 <math>R</math> 的一个'''极大理想'''('''maximal ideal''')。

== 性质 ==

极大理想一定是素理想。

对 <math>R/I</math> 有限的情况，理想是极大理想当且仅当它也是素理想。


{{环与模与域}}