极大理想
| 极大理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 极大理想 |
| 英语名称 | maximal ideal |
极大理想(maximal ideal)指环中的一个理想，既不是环自身，也找不到环自身以外比它更大的理想。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及其真理想 [math]\displaystyle{ I \subsetneq R\lt /\gt ，如果不存在 \lt math\gt R }[/math] 的真子集满足 [math]\displaystyle{ I \subsetneq R }[/math] 且也是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的理想，则称子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的一个极大理想(maximal ideal)。
注：也可以表述为，对 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的任意理想 [math]\displaystyle{ I' }[/math] ，如果 [math]\displaystyle{ I\subseteq I' }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ I' = I \lor I' = R }[/math] 。
等价定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及其真理想 [math]\displaystyle{ I \neq (1) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ R/I }[/math] 是域，则称子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的一个极大理想(maximal ideal)。
性质
极大理想一定是素理想。
对 [math]\displaystyle{ R/I }[/math] 有限的情况，理想是极大理想当且仅当它也是素理想。