查看“︁极限、余极限”︁的源代码

[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=极限
|eng_name=limit
|aliases=逆向极限,inverse limit,投射极限,projective limit
}}
{{InfoBox
|name=余极限
|eng_name=colimit
|aliases=正向极限,direct limit,归纳极限,inductive limit
}}
'''极限'''('''limit''')和'''余极限'''('''colimit''')指[[范畴]]中一些被索引的对象，有到达或来自它们的映射的公共对象（[[锥、余锥]]）其中最近的。

== 定义 ==

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> ，有指标范畴 <math>\mathscr{J}</math> 和函子 <math>F: \mathscr{J}\to \mathscr{C}</math> 。
* 在 <math>\mathscr{J}</math>-图上方的[[锥范畴]]中，如果有终对象，称为函子 <math>F</math> 的'''极限'''('''limit''')，记作 <math>\lim F</math> ，也称为 <math>F</math> 的逆向极限，记作 <math>\lim_\longleftarrow F</math> 。也说是 <math>\mathscr{J}</math>-图的极限或逆向极限。
* 在 <math>\mathscr{J}</math>-图下方的余锥范畴中，如果有始对象，称为函子 <math>F</math> 的'''余极限'''('''colimit''')，记作 <math>\operatorname{colim} F</math> ，也称为 <math>F</math> 的正向极限，记作 <math>\lim_\longrightarrow F</math> 。也说是 <math>\mathscr{J}</math>-图的余极限或正向极限。

注：在定义中，函子和指标范畴仅仅是提供一个类似下标的作用，结构应该在范畴 <math>\mathscr{C}</math> 里。

== 说明 ==

如果是偏序范畴，
锥范畴中的对象就是全体下界，极限就是下界中最接近的（“极限”），即下确界（最大下界），
反过来余锥范畴的对象就是全体上界，余极限就是上界中最接近的（“极限”），即上确界（最小上界）。

可以按照这个来推广，如果我们把态射自上而下书写，极限就是所有“上面”的锥中最“下面”的那个：

{{GiteaSvg|category_limit}}

反过来，余极限就是所有“下面”的余锥中最“上面”的那个：

{{GiteaSvg|category_colimit}}


{{范畴论}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

极限/余极限的名字来自于之前就已经存在的，拓扑学研究中的逆向极限和正向极限。<ref>范畴论中的极限为什么要叫“极限”？ - Trebor的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/550154801/answer/2711892196</ref>