极限、余极限

极限
术语名称	极限
英语名称	limit
别名	逆向极限, inverse limit, 投射极限, projective limit

余极限
术语名称	余极限
英语名称	colimit
别名	正向极限, direct limit, 归纳极限, inductive limit

极限(limit)和余极限(colimit)指范畴中一些被索引的对象，有到达或来自它们的映射的公共对象（锥、余锥）其中最近的。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ，有指标范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math] 和函子 [math]\displaystyle{ F: \mathscr{J}\to \mathscr{C} }[/math] 。

• 在 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图上方的锥范畴中，如果有终对象，称为函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 的极限(limit)，记作 [math]\displaystyle{ \lim F }[/math] ，也称为 [math]\displaystyle{ F }[/math] 的逆向极限，记作 [math]\displaystyle{ \lim_\longleftarrow F }[/math] 。也说是 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图的极限或逆向极限。
• 在 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图下方的余锥范畴中，如果有始对象，称为函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 的余极限(colimit)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{colim} F }[/math] ，也称为 [math]\displaystyle{ F }[/math] 的正向极限，记作 [math]\displaystyle{ \lim_\longrightarrow F }[/math] 。也说是 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图的余极限或正向极限。

注：在定义中，函子和指标范畴仅仅是提供一个类似下标的作用，结构应该在范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 里。

说明

如果是偏序范畴， 锥范畴中的对象就是全体下界，极限就是下界中最接近的（“极限”），即下确界（最大下界）， 反过来余锥范畴的对象就是全体上界，余极限就是上界中最接近的（“极限”），即上确界（最小上界）。

可以按照这个来推广，如果我们把态射自上而下书写，极限就是所有“上面”的锥中最“下面”的那个：

反过来，余极限就是所有“下面”的余锥中最“上面”的那个：

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核

琐事

名称

极限/余极限的名字来自于之前就已经存在的，拓扑学研究中的逆向极限和正向极限。