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[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=核
|eng_name=kernel
}}
{{InfoBox
|name=余核
|eng_name=cokernel
}}
'''核'''('''kernel''')指[[范畴]]中要求[[等化子、余等化子|等化]]其中一个态射是[[零态射]]的对象。是[[同态核]]的一个扩展。

其对偶称为'''余核'''('''cokernel''')。

== 定义 ==

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 和态射 <math>f:X\to Y</math> ，将态射 <math>f</math> 等化为零态射的等化子称为态射 <math>f</math> 的'''核'''('''kernel''')，记作 <math>\ker f</math> 。其对偶称为'''余核'''('''cokernel''')，记作 <math>\operatorname{coker}f</math> 。

=== 核 ===

按等化子的定义，

{{GiteaSvg|kernel}}

使得上图中的三角形可交换，即 <math>f\circ a = 0</math> 的全部 <math>(A, a)</math> 。这些 <math>(A, a)</math> 全部构成一个锥范畴，其中的终对象是核，如下图。

{{GiteaSvg|kernel_cone}}

核到 <math>X</math> 的态射总是单态射。

如果是群范畴，对于同态核就相当于[[包含映射]] <math>\iota</math> 。

=== 余核 ===

余核类似地定义，按余等化子，

{{GiteaSvg|cokernel}}

使得上图中的三角形可交换，即 <math>a\circ f = 0</math> 的全部 <math>(A, a)</math> 。这些 <math>(A, a)</math> 全部构成一个余锥范畴，其中的始对象是余核，如下图。

{{GiteaSvg|cokernel_cocone}}

余核从 <math>Y</math> 的态射总是满态射。

如果是交换群范畴，就是对同态的余核（陪域对同态像的商）就相当于[[自然投影]] <math>\pi</math> 。


{{范畴论}}