核、余核

核
术语名称	核
英语名称	kernel

余核
术语名称	余核
英语名称	cokernel

核(kernel)指范畴中要求等化其中一个态射是零态射的对象。是同态核的一个扩展。

其对偶称为余核(cokernel)。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 和态射 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] ，将态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 等化为零态射的等化子称为态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的核(kernel)，记作 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math] 。其对偶称为余核(cokernel)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{coker}f }[/math] 。

核

按等化子的定义，

使得上图中的三角形可交换，即 [math]\displaystyle{ f\circ a = 0 }[/math] 的全部 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 。这些 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 全部构成一个锥范畴，其中的终对象是核，如下图。

核到 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的态射总是单态射。

如果是群范畴，对于同态核就相当于包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math] 。

余核

余核类似地定义，按余等化子，

使得上图中的三角形可交换，即 [math]\displaystyle{ a\circ f = 0 }[/math] 的全部 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 。这些 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 全部构成一个余锥范畴，其中的始对象是余核，如下图。

余核从 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的态射总是满态射。

如果是交换群范畴，就是对同态的余核（陪域对同态像的商）就相当于自然投影 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核