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[[分类:环与模与域]]

<blockquote>
注意：本文的主题是代数结构的环上的模。
对于俗称模运算的取余运算，参见[[带余除法]]和[[取余]]。
对于同余中的模数，参见[[同余]]。
</blockquote>

{{InfoBox
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|name=左模
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|name=数乘
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'''<math>R</math>-模'''('''<math>R</math>-module''')指一个[[交换群]]上具有可以用[[环]] <math>R</math> 数乘的结构。

模是[[线性空间]]的系数在环上的推广，同时也是群作用中逐点运算和复合所构成的代数系统的抽象。

== 定义 ==

对环 <math>\langle R,{\color{red}+},{\color{red}\cdot} \rangle</math> 和交换群 <math>\langle M,{\color{green}+} \rangle</math> ，若有映射 <math>\rho: R\times M \to M</math> 满足以下公理：
* 对群上运算有“右[[分配性]]”： <math>(\forall r\in R)(\forall m,n \in M)(\rho(r, m{\color{green}+}n) = \rho(r,m) {\color{green}+} \rho(r,n))</math>
* 对环上加法有“左[[分配性]]”： <math>(\forall r,s\in R)(\forall m \in M)(\rho(r {\color{red}+} s, m) = \rho(r,m) {\color{green}+} \rho(s,m))</math>
* 与环上乘法有“相容性”： <math>(\forall r,s\in R)(\forall m \in M)(\rho(r {\color{red}\cdot} s, m) = \rho(r, \rho(s,m))</math> 
* 环幺元把群元素变换到自身： <math>(\forall m\in M)(\rho(1_R, m) = m)</math>
则称交换群 <math>\langle M,{\color{green}+} \rangle</math> 是一个'''左 <math>R</math>-模'''('''left <math>R</math>-module''')，映射 <math>\rho</math> 称为这个左 R-模上的'''数量乘法'''('''scalar multiplication''')运算，简称'''数乘'''运算。

对应地，若数乘定义为 <math>\rho: M\times R \to M</math> ，并对应改变公理中字母的顺序（主要在于第三条要求了 <math>r</math> 和 <math>s</math> 的顺序），则称交换群是一个'''右 <math>R</math>-模'''('''right <math>R</math>-module''')。
如果环 <math>R</math> 是[[交换环]]，则左右 <math>R</math>-模等价，称为 '''<math>R</math>-模'''('''<math>R</math>-module''')。

对于非交换环，通常默认将左 <math>R</math>-模直接称为 '''<math>R</math>-模'''('''<math>R</math>-module''')。
而同时右 <math>R</math>-模就是[[反环]] <math>R^\mathrm{op}</math> 上的左 <math>R^\mathrm{op}</math>-模，也就是一个 '''<math>R^\mathrm{op}</math>'''-模。
<math>R</math>-模这一短语也可以表达为'''环 <math>R</math> 上的模'''('''module over <math>R</math>''')。

习惯上，数乘运算总是被写作并置形式。即记 <math>\rho: (r,m)\mapsto rm</math> ，如果环的乘法运算也写作并置，则以上四种运算律对应写为：
* <math>(\forall r\in R)(\forall m,n \in M)(r(m{\color{green}+}n) = rm {\color{green}+} rn)</math>
* <math>(\forall r,s\in R)(\forall m \in M)((r {\color{red}+} s) m = rm {\color{green}+} sm)</math>
* <math>(\forall r,s\in R)(\forall m \in M)((rs) m = r (sm)</math>
* <math>(\forall m\in M)(1_R m = m)</math>

需要注意的是，对给定环，模上涉及两种运算，模上的加法运算（即交换群中的运算）和环与模之间的数乘运算。环上的两种运算一般视为环给定的而不是模中的。

== 性质 ==

* <math>(\forall m\in M)(0_R m = 0_M)</math> 。
* <math>(\forall m\in M)((-1_R) m = -m)</math> ，其中两个负号分别是环中和模中的加法逆元。

== 构造 ==

环同态 <math>\alpha: R\to S</math> ，可以与环中的乘法一起定义成 <math>\rho: R\times S\to S, (r,s) \mapsto rs=\alpha(r)s</math> ，此时若 <math>S</math> 是交换环，进一步地称为 [[代数（环）|<math>R</math>-代数]]。
特别地，如果 <math>S=R</math> 且 <math>\alpha=\mathrm{id}_R: R \to R</math> ，则环是其自身上的一个模。

每个交换群都以唯一一种方式构成一个 <math>\mathbb{Z}</math>-模。实际通过交换群上的自同态构成环，而整数加乘环是环范畴的始对象就可以确认。这个方式是对应的指数映射， <math>n m = m + \dots + m</math> 。同时，每个环也同样以唯一方式构成一个 <math>\mathbb{Z}</math>-代数。

交换环 <math>R</math> 上的两个模 <math>M,N</math> 之间的[[模同态]]也构成一个 <math>R</math>-模，规则是把任意 <math>\varphi: M\to N</math> 映射到 <math>(r\varphi)(s m) = s(r\varphi(m))</math> 。


{{环与模与域}}