模
| 模 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模 |
| 英语名称 | module |
| 左模 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左模 |
| 英语名称 | left module |
| 别名 | left-module |
| 右模 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右模 |
| 英语名称 | right module |
| 别名 | right-module |
| 数乘 | |
|---|---|
| 术语名称 | 数乘 |
| 英语名称 | scalar multiplication |
| 别名 | 数量乘法 |
[math]\displaystyle{ R }[/math]-模([math]\displaystyle{ R }[/math]-module)指一个交换群上具有可以用环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 数乘的结构。
模是线性空间的系数在环上的推广，同时也是群作用中逐点运算和复合所构成的代数系统的抽象。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,{\color{red}+},{\color{red}\cdot} \rangle }[/math] 和交换群 [math]\displaystyle{ \langle M,{\color{green}+} \rangle }[/math] ，若有映射 [math]\displaystyle{ \rho: R\times M \to M }[/math] 满足以下公理：
- 对群上运算有“右分配性”： [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(\forall m,n \in M)(\rho(r, m{\color{green}+}n) = \rho(r,m) {\color{green}+} \rho(r,n)) }[/math]
- 对环上加法有“左分配性”： [math]\displaystyle{ (\forall r,s\in R)(\forall m \in M)(\rho(r {\color{red}+} s, m) = \rho(r,m) {\color{green}+} \rho(s,m)) }[/math]
- 与环上乘法有“相容性”： [math]\displaystyle{ (\forall r,s\in R)(\forall m \in M)(\rho(r {\color{red}\cdot} s, m) = \rho(r, \rho(s,m)) }[/math]
- 环幺元把群元素变换到自身： [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)(\rho(1_R, m) = m) }[/math]
则称交换群 [math]\displaystyle{ \langle M,{\color{green}+} \rangle }[/math] 是一个左 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模(left [math]\displaystyle{ R }[/math]-module)，映射 [math]\displaystyle{ \rho }[/math] 称为这个左 R-模上的数量乘法(scalar multiplication)运算，简称数乘运算。
对应地，若数乘定义为 [math]\displaystyle{ \rho: M\times R \to M }[/math] ，并对应改变公理中字母的顺序（主要在于第三条要求了 [math]\displaystyle{ r }[/math] 和 [math]\displaystyle{ s }[/math] 的顺序），则称交换群是一个右 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模(right [math]\displaystyle{ R }[/math]-module)。 如果环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是交换环，则左右 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模等价，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模([math]\displaystyle{ R }[/math]-module)。
对于非交换环，通常默认将左 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模直接称为 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模([math]\displaystyle{ R }[/math]-module)。 而同时右 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模就是反环 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{op} }[/math] 上的左 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{op} }[/math]-模，也就是一个 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{op} }[/math]-模。 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模这一短语也可以表达为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上的模(module over [math]\displaystyle{ R }[/math])。
习惯上，数乘运算总是被写作并置形式。即记 [math]\displaystyle{ \rho: (r,m)\mapsto rm }[/math] ，如果环的乘法运算也写作并置，则以上四种运算律对应写为：
- [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(\forall m,n \in M)(r(m{\color{green}+}n) = rm {\color{green}+} rn) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall r,s\in R)(\forall m \in M)((r {\color{red}+} s) m = rm {\color{green}+} sm) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall r,s\in R)(\forall m \in M)((rs) m = r (sm) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)(1_R m = m) }[/math]
需要注意的是，对给定环，模上涉及两种运算，模上的加法运算（即交换群中的运算）和环与模之间的数乘运算。环上的两种运算一般视为环给定的而不是模中的。
性质
- [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)(0_R m = 0_M) }[/math] 。
- [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)((-1_R) m = -m) }[/math] ，其中两个负号分别是环中和模中的加法逆元。
构造
环同态 [math]\displaystyle{ \alpha: R\to S }[/math] ，可以与环中的乘法一起定义成 [math]\displaystyle{ \rho: R\times S\to S, (r,s) \mapsto rs=\alpha(r)s }[/math] ，此时若 [math]\displaystyle{ S }[/math] 是交换环，进一步地称为 [math]\displaystyle{ R }[/math]-代数。 特别地，如果 [math]\displaystyle{ S=R }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \alpha=\mathrm{id}_R: R \to R }[/math] ，则环是其自身上的一个模。
每个交换群都以唯一一种方式构成一个 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-模。实际通过交换群上的自同态构成环，而整数加乘环是环范畴的始对象就可以确认。这个方式是对应的指数映射， [math]\displaystyle{ n m = m + \dots + m }[/math] 。同时，每个环也同样以唯一方式构成一个 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-代数。
交换环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上的两个模 [math]\displaystyle{ M,N }[/math] 之间的模同态也构成一个 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模，规则是把任意 [math]\displaystyle{ \varphi: M\to N }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ (r\varphi)(s m) = s(r\varphi(m)) }[/math] 。