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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=正规子群
|eng_name=normal subgroup
|aliases=不变子群,invariant subgroup,自共轭子群,self-conjugate subgroup
}}
'''正规子群'''('''normal subgroup''')指一个[[群]]中对群中[[共轭]]封闭的[[子群]]。

== 定义 ==

{{Relation
|name=正规子群
|symbol=<math>\trianglelefteq</math>,<math>\lhd</math>
|latex=\trianglelefteq,\lhd
|operand_relation=群
}}
对群 <math>G</math> 及子群 <math>H \leq G</math> ，若 <math>(\forall g \in G) (\forall h \in H) (g h g^{-1} \in H)</math> ，称子群 <math>H</math> 是群 <math>G</math> 的'''正规子群'''('''normal subgroup''')，记作 <math>H \trianglelefteq G</math> 。也经常不区分是否真子群，直接记作 <math>H\lhd G</math> 。

{{CharMetaInfo
|char=&#x22B4;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+22B4|Normal Subgroup of or Equal to}}
|latex=\unlhd,\trianglelefteq
}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x22B2;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+22B2|Normal Subgroup of}}
|latex=\lhd,\triangleleft
}}

== 性质 ==

=== 等价条件 ===

* 陪集性质：
** 常通过[[陪集]]记号，将以上条件记作 <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> ，或者等价的 <math>gHg^{-1} = H</math> 、 <math>gH \subseteq Hg</math> 、 <math>Hg \subseteq gH</math> 、 <math>gH = Hg</math> 。
** 对任意元素左右陪集相等。
** 左右陪集构成的集合相等。
* [[商群]]性质：
** 在同一左陪集中的等价关系被群运算保持， <math>g_1 H = g_1' H \land g_2 H = g_2' H \rightarrow (g_1 g_2) H = (g_1'g_2') H</math> 。
* 自共轭性质：
** 是[[共轭类]]的并集。
** 在内自同态（共轭）中不变。
* 存在同态使子群是[[核]]。

=== 其他性质 ===

平凡子群（平凡群、自身）都一定是正规子群。如果一个群只有平凡子群是正规子群，称为[[单群]]。

[[交换群]]的任意子群都是正规子群。也存在极少非交换群满足任意子群都是正规子群。

任意个子群的交仍是子群，即对任意集族 <math>\{H_\alpha\}_{\alpha \in I}</math> ，有

<math>(\forall \alpha\in I)(H_\alpha \leq G) \Rightarrow \bigcap_{\alpha\in I} H_\alpha \leq G</math>

满同态是保持正规子群结构的，也就是说，正规子群总是被映射到正规子群，映射到正规子群的原像集也是一个正规子群。内自同态也保持正规子群结构。

<math>\varphi:G\to G', N'=\varphi(N) , (N \unlhd G) \Rightarrow (N'\unlhd G') </math>

<math>\varphi:G\to G', N=\varphi^{-1}(N') , (N' \unlhd G') \Rightarrow (N\unlhd G) </math>

[[循环群]]的子群一定还是循环群。
群同态的[[核]]总是正规子群，正规子群也总可以看成某个同态的核。


{{群论}}