正规子群
| 正规子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 正规子群 |
| 英语名称 | normal subgroup |
| 别名 | 不变子群, invariant subgroup, 自共轭子群, self-conjugate subgroup |
正规子群(normal subgroup)指一个群中对群中共轭封闭的子群。
定义
| 正规子群 | |
|---|---|
| 关系名称 | 正规子群 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \trianglelefteq }[/math],[math]\displaystyle{ \lhd }[/math] |
| Latex | \trianglelefteq , \lhd
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| 关系对象 | 群 |
| 关系元数 | 2
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对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall g \in G) (\forall h \in H) (g h g^{-1} \in H) }[/math] ，称子群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的正规子群(normal subgroup)，记作 [math]\displaystyle{ H \trianglelefteq G }[/math] 。也经常不区分是否真子群，直接记作 [math]\displaystyle{ H\lhd G }[/math] 。
| ⊴ | |
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| 字符 | ⊴ |
| Unicode码位 | U+22B4 Normal Subgroup of or Equal to
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| Latex命令序列 | \unlhd , \trianglelefteq
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| ⊲ | |
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| 字符 | ⊲ |
| Unicode码位 | U+22B2 Normal Subgroup of
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| Latex命令序列 | \lhd , \triangleleft
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性质
等价条件
- 陪集性质：
- 常通过陪集记号，将以上条件记作 [math]\displaystyle{ gHg^{-1} \subseteq H }[/math] ，或者等价的 [math]\displaystyle{ gHg^{-1} = H }[/math] 、 [math]\displaystyle{ gH \subseteq Hg }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Hg \subseteq gH }[/math] 、 [math]\displaystyle{ gH = Hg }[/math] 。
- 对任意元素左右陪集相等。
- 左右陪集构成的集合相等。
- 商群性质：
- 在同一左陪集中的等价关系被群运算保持， [math]\displaystyle{ g_1 H = g_1' H \land g_2 H = g_2' H \rightarrow (g_1 g_2) H = (g_1'g_2') H }[/math] 。
- 自共轭性质：
- 是共轭类的并集。
- 在内自同态（共轭）中不变。
- 存在同态使子群是核。
其他性质
平凡子群（平凡群、自身）都一定是正规子群。如果一个群只有平凡子群是正规子群，称为单群。
交换群的任意子群都是正规子群。也存在极少非交换群满足任意子群都是正规子群。
任意个子群的交仍是子群，即对任意集族 [math]\displaystyle{ \{H_\alpha\}_{\alpha \in I} }[/math] ，有
[math]\displaystyle{ (\forall \alpha\in I)(H_\alpha \leq G) \Rightarrow \bigcap_{\alpha\in I} H_\alpha \leq G }[/math]
满同态是保持正规子群结构的，也就是说，正规子群总是被映射到正规子群，映射到正规子群的原像集也是一个正规子群。内自同态也保持正规子群结构。
[math]\displaystyle{ \varphi:G\to G', N'=\varphi(N) , (N \unlhd G) \Rightarrow (N'\unlhd G') }[/math]
[math]\displaystyle{ \varphi:G\to G', N=\varphi^{-1}(N') , (N' \unlhd G') \Rightarrow (N\unlhd G) }[/math]
循环群的子群一定还是循环群。 群同态的核总是正规子群，正规子群也总可以看成某个同态的核。