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[[分类:连分数理论]]
[[分类:最佳有理逼近]]
{{InfoBox
|name=渐近分数
|eng_name=convergent
|aliases=收敛子
}}
'''渐近分数'''('''convergent''')是[[连分数]]中省略倒数部分后的有理数的名称，因为不断逼近最终取值称为渐近分数。参见[[连分数]]。

<math>
a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}}
</math>

其渐近分数有 <math>
a_0 , a_0 + \cfrac1{ a_1 } , a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 }}, 
\cdots, a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}}
</math>

== 定义 ==

对连分数，特别是无限连分数 <math>[a_0, a_1, \cdots, a_k, \cdots]</math> ，称 <math>[a_0, a_1, \cdots, a_k]</math> 为其'''第 <math>k</math> 个渐近分数'''('''<math>k</math>th convergent''')，并统称有理数 <math>[a_0], [a_0,a_1], \cdots</math> 为这一连分数的'''渐近分数'''('''convergents''')<ref>“渐近”在这里是逐渐逼近的意思，见性质。多误作“渐进”。</ref>。

== 性质 ==

只考虑简单连分数的渐近分数。

单调性质：对一个实数，从连分数形式可以得到其渐近分数，是一个有理数序列。其中偶数项小于这个实数且单调递增，奇数项大于这个实数且单调递减。

如果记第 <math>k</math> 个渐近分数为 <math>\frac{p_k}{q_k}</math> ，则有递推关系：
* <math>p_0 = a_0, q_0 = 1</math>
* <math>p_1 = a_0 a_1 + 1, q_1 = a_1</math>
* <math>p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}</math>

也记作：
* <math>p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}</math> 
* <math>p_{-2}=0, p_{-1}=1, q_{-2}=1, q_{-1}=0</math> 

也可以表示为[[三对角行列式]]形式

<math>p_n = \begin{vmatrix}
a_0 & -1 &&& \\
1 & a_1 & -1 && \\
& 1 & a_2 &\ddots & \\
&&\ddots & \ddots & -1 \\
&&& 1 & a_n \\
\end{vmatrix},n \geq 0</math>

<math>q_n = \begin{vmatrix}
a_1 & -1 &&& \\
1 & a_2 & -1 && \\
& 1 & a_3 &\ddots & \\
&&\ddots & \ddots & -1 \\
&&& 1 & a_n \\
\end{vmatrix},n \geq 1</math>

相邻两个渐近分数满足 <math>p_n q_{n-1} - p_{n-1} q_n = (-1)^{n+1}, n\geq -1</math> ，
以及 <math>\begin{bmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \dots \begin{bmatrix} a_n & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, n\geq 1</math> 。

由于递推关系， <math>q_n \geq n, n \geq 3</math> ，对无限连分数总是有 <math>\frac{p_{2n-1}}{q_{2n-1}} - \frac{p_{2n}}{q_{2n}}  = \frac{1}{q_{2n-1}q_2n}\leq \frac{1}{(2n-1)(2n)} \to 0 (n \to \infty)</math> ，可以知道两侧向中间逼近时，一定收敛到同一个数。


{{连分数理论}}