渐近分数

渐近分数
术语名称	渐近分数
英语名称	convergent
别名	收敛子

渐近分数(convergent)是连分数中省略倒数部分后的有理数的名称，因为不断逼近最终取值称为渐近分数。参见连分数。

[math]\displaystyle{ a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}} }[/math]

其渐近分数有 [math]\displaystyle{ a_0 , a_0 + \cfrac1{ a_1 } , a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 }}, \cdots, a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}} }[/math]

定义

对连分数，特别是无限连分数 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_k, \cdots] }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_k] }[/math] 为其第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个渐近分数([math]\displaystyle{ k }[/math]th convergent)，并统称有理数 [math]\displaystyle{ [a_0], [a_0,a_1], \cdots }[/math] 为这一连分数的渐近分数(convergents)。

性质

只考虑简单连分数的渐近分数。

单调性质：对一个实数，从连分数形式可以得到其渐近分数，是一个有理数序列。其中偶数项小于这个实数且单调递增，奇数项大于这个实数且单调递减。

如果记第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个渐近分数为 [math]\displaystyle{ \frac{p_k}{q_k} }[/math] ，则有递推关系：

• [math]\displaystyle{ p_0 = a_0, q_0 = 1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ p_1 = a_0 a_1 + 1, q_1 = a_1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2} }[/math]

也记作：

• [math]\displaystyle{ p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ p_{-2}=0, p_{-1}=1, q_{-2}=1, q_{-1}=0 }[/math]

也可以表示为三对角行列式形式

[math]\displaystyle{ p_n = \begin{vmatrix} a_0 & -1 &&& \\ 1 & a_1 & -1 && \\ & 1 & a_2 &\ddots & \\ &&\ddots & \ddots & -1 \\ &&& 1 & a_n \\ \end{vmatrix},n \geq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ q_n = \begin{vmatrix} a_1 & -1 &&& \\ 1 & a_2 & -1 && \\ & 1 & a_3 &\ddots & \\ &&\ddots & \ddots & -1 \\ &&& 1 & a_n \\ \end{vmatrix},n \geq 1 }[/math]

相邻两个渐近分数满足 [math]\displaystyle{ p_n q_{n-1} - p_{n-1} q_n = (-1)^{n+1}, n\geq -1 }[/math] ， 以及 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \dots \begin{bmatrix} a_n & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, n\geq 1 }[/math] 。

由于递推关系， [math]\displaystyle{ q_n \geq n, n \geq 3 }[/math] ，对无限连分数总是有 [math]\displaystyle{ \frac{p_{2n-1}}{q_{2n-1}} - \frac{p_{2n}}{q_{2n}} = \frac{1}{q_{2n-1}q_2n}\leq \frac{1}{(2n-1)(2n)} \to 0 (n \to \infty) }[/math] ，可以知道两侧向中间逼近时，一定收敛到同一个数。

连分数
基本定义	连分数（简单、普通、广义；有限、无限）	连分数算法
部分结构	渐近分数	完全商
分类	有限连分数	循环连分数、无限不循环连分数
最佳有理逼近
用连分数逼近	渐近分数	半渐近分数
用中间分数逼近	Farey 数列	Stern–Brocot 树