查看“︁满射”︁的源代码

[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=满射
|eng_name=surjection
|aliases=surjective function,映上函数,onto function,onto mapping
}}
'''满射'''('''surjection''')指一个[[映射]]中，对陪域中的每个元素，都有至少一个原像与其对应。即值域等于陪域。

== 定义 ==

对映射 <math>f: X\to Y</math> ，若：
<math>\forall y \in Y \exist x (y = f(x))</math>
则称这个映射是 '''surjective''' 的或'''映上的'''（'''onto'''），或称其是一个'''满射'''('''surjection''')或'''映上函数'''（'''onto function'''）。
若将其看作一个[[左全关系|左全]][[右唯一关系|右唯一]]的关系，这一条件即要求其同时是一个[[右全关系]]。

区别于普通的“从 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的映射”(a map from <math>X</math> to <math>Y</math>)、“把 <math>X</math> 映射到 <math>Y</math> ”(maps from <math>X</math> to <math>Y</math>)，满射也被表述为“从 <math>X</math> 到 <math>Y</math> '''上'''的映射”(a map from <math>X</math> '''onto''' <math>Y</math>)、“把 <math>X</math> 映射到 <math>Y</math> '''上'''”(maps from <math>X</math> '''onto''' <math>Y</math>)。

== 记号 ==

满射，也使用带有双头部的箭头，如 <math>f: X \twoheadrightarrow Y</math> 。
特别在[[交换图|图]]中经常被画成类似 <math>\twoheadrightarrow</math> 的箭头。

{{CharMetaInfo
|char=&#x21A0;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+21A0|Rightwards Two Headed Arrow}}
|latex=\twoheadrightarrow
}}

== 性质 ==

在映射的[[复合（映射）|复合]]运算下，
* 满射总有右[[逆元]]（这条等价于选择公理）。
* 有右逆元的映射一定是满射。

也就是说：

{{InfoBox
|eng_name=section
}}
对任意满射 <math>f: X\to Y</math> ，存在 <math>g: Y \to X</math> 使得 <math>g</math> 是 <math>f</math> 在复合运算下的右逆元，即 <math>f \circ g = \mathrm{id}_Y</math> 。这样的右逆元称为映射 <math>f</math> 的 '''section''' 。

如果满射本身不是双射，则这个右逆不是左逆，右逆也不唯一。

对任意映射 <math>f: X\to Y</math> ，若存在 <math>g: Y \to X</math> 使得 <math>g</math> 是 <math>f</math> 在复合运算下的右逆元，即 <math>f \circ g = \mathrm{id}_Y</math> ，则 <math>f</math> 必为满射。


{{映射}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

中文一般把 onto 显式翻译出满射，因为“……上”容易被误解成“用作补语，表示动作的结果或状态”的含义。

构词上 surjection 的 sur- （在……上）和 map onto 的 onto 是同一含义。表达的是把前一个集合的元素，经过映射后铺到、覆盖住后一个集合的整体，所以字面上是映射到“上面”。