满射
| 满射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 满射 |
| 英语名称 | surjection |
| 别名 | surjective function, 映上函数, onto function, onto mapping |
满射(surjection)指一个映射中，对陪域中的每个元素，都有至少一个原像与其对应。即值域等于陪域。
定义
对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若： [math]\displaystyle{ \forall y \in Y \exist x (y = f(x)) }[/math] 则称这个映射是 surjective 的或映上的（onto），或称其是一个满射(surjection)或映上函数（onto function）。 若将其看作一个左全右唯一的关系，这一条件即要求其同时是一个右全关系。
区别于普通的“从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射”(a map from [math]\displaystyle{ X }[/math] to [math]\displaystyle{ Y }[/math])、“把 [math]\displaystyle{ X }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ”(maps from [math]\displaystyle{ X }[/math] to [math]\displaystyle{ Y }[/math])，满射也被表述为“从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的映射”(a map from [math]\displaystyle{ X }[/math] onto [math]\displaystyle{ Y }[/math])、“把 [math]\displaystyle{ X }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上”(maps from [math]\displaystyle{ X }[/math] onto [math]\displaystyle{ Y }[/math])。
记号
满射，也使用带有双头部的箭头，如 [math]\displaystyle{ f: X \twoheadrightarrow Y }[/math] 。 特别在图中经常被画成类似 [math]\displaystyle{ \twoheadrightarrow }[/math] 的箭头。
| ↠ | |
|---|---|
| 字符 | ↠ |
| Unicode码位 | U+21A0 Rightwards Two Headed Arrow
|
| Latex命令序列 | \twoheadrightarrow
|
性质
在映射的复合运算下，
- 满射总有右逆元（这条等价于选择公理）。
- 有右逆元的映射一定是满射。
也就是说：
| section | |
|---|---|
| 术语名称 | |
| 英语名称 | section |
对任意满射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，存在 [math]\displaystyle{ g: Y \to X }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在复合运算下的右逆元，即 [math]\displaystyle{ f \circ g = \mathrm{id}_Y }[/math] 。这样的右逆元称为映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的 section 。
如果满射本身不是双射，则这个右逆不是左逆，右逆也不唯一。
对任意映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ g: Y \to X }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在复合运算下的右逆元，即 [math]\displaystyle{ f \circ g = \mathrm{id}_Y }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ f }[/math] 必为满射。
琐事
名称
中文一般把 onto 显式翻译出满射，因为“……上”容易被误解成“用作补语，表示动作的结果或状态”的含义。
构词上 surjection 的 sur- （在……上）和 map onto 的 onto 是同一含义。表达的是把前一个集合的元素，经过映射后铺到、覆盖住后一个集合的整体，所以字面上是映射到“上面”。