查看“︁环”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=环
|eng_name=ring
|aliases=幺环,含幺环,unital ring,unitary ring,ring with unity,ring with unit,ring with identity,ring with 1
}}
'''环'''('''ring''')是一个集合和其上两个二元[[运算]]构成的[[代数系统]]，要求两个运算分别构成[[交换群]]和[[幺半群]]，且两运算间满足[[分配律]]。

<blockquote>
关于环是否有幺元，定义上有一定争议。

一种术语体系中，无幺元的称为“环”，有幺元的称为“幺环”；另一种术语体系中，无幺环的称为“伪环”，有幺元的称为“环”。

据观察，国内高校一般沿用无幺元的定义，比较新的国外教材一般使用有幺元的定义。
由于无幺元的环可以嵌入有幺元的<ref>[https://www.zhihu.com/question/334372453/answer/2877134839 为什么环中有幺元不是本质的？ - 载行的回答 - 知乎]</ref>，且默认幺元存在可以避免一些过于平凡的反例<ref>[https://www.zhihu.com/question/406925932/answer/1339147522 为什么这本教材对环的定义有些不同？ - 殷正的回答 - 知乎]</ref>。本 wiki 采用后者的体系。
</blockquote>

== 定义 ==

对非空集合 <math>R</math> 及其上的两个二元运算 <math>+,\cdot</math> ，若其满足以下'''环公理'''('''ring axioms''')：

{{InfoBox
|name=零元
|eng_name=zero element
|aliases=零,zero,加法幺元,additive identity
}}
{{InfoBox
|name=负元
|eng_name=negation
|aliases=加法逆元,additive inverse
}}
{{InfoBox
|name=幺元
|eng_name=identity element
|aliases=单位元,identity,乘法幺元,multiplicative identity
}}
* 运算 <math>+</math> 被称为'''加法'''('''addition''')，其使得 <math>\langle R,+ \rangle</math> 构成'''交换群'''('''abelian group''')：
** '''加法结合性'''('''associativity of addition''')：<math>(\forall r,s,t \in R) ((r + s) + t = r + (s + t))</math> ；
** 有'''加法幺元'''('''additive identity''')，称为环中的'''零元'''('''zero element''')或简称'''零'''('''zero''')：<math>(\exists 0_R \in R) (\forall r \in R) (0_R + r = r + 0_R = r)</math> ；
** 有'''加法逆元'''('''additive inverse''')，称为环中的'''负元'''('''negation''')：<math>(\forall r \in R) (\exists s \in G) (r + s = s + r = 0_R)</math> ；
** '''加法交换性'''('''commutativity of addition''')：<math>(\forall r,s \in R) (r + s = s + r)</math> ；
* 运算 <math>\cdot</math> 被称为'''乘法'''('''multiplication''')，其使得 <math>\langle R,\cdot \rangle</math> 构成'''幺半群'''('''monoid''')：
** '''乘法结合性'''('''associativity of multiplication''')：<math>(\forall r,s,t \in R) ((r \cdot s) \cdot t = r \cdot (s \cdot t))</math> ；
** 有'''乘法幺元'''('''multiplicative identity''')，称为环中的'''单位元'''/'''幺元'''('''identity element'''/'''identity''')：<math>(\exists 1_R \in R) (\forall r \in R) (1_R \cdot r = r \cdot 1_R = r)</math> ；
* 乘法对加法满足'''分配性'''('''distributivity''')：<math>(\forall r,s,t \in R)((r + s) \cdot t = r \cdot t + s \cdot t) \land (\forall r,s,t \in R)(t \cdot (r + s) = t \cdot r + t \cdot s)</math> 。

则构成的代数系统 <math>\langle R, +, \cdot, 0_R, 1_R \rangle</math> （或省略幺元和零元写作 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> ）称为一个'''环'''('''ring''')。也称集合 <math>R</math> 关于运算 <math>+</math> 和 <math>\cdot</math> 构成一个环。

注：由于较为啰唆，封闭性未被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此两个幺元都可以没有歧义地写成 <math>0_R</math> 和 <math>1_R</math> ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 <math>-r</math> 。

注：可以省略元素运算写作 <math>R</math> 。

== 推论 ==

环中加法幺元一定是乘法零元。（两侧的零元分别由对应侧的分配性和加法消去律保证）

单位元 1 的加法逆元 -1 与任意元素乘法后一定得到其负元，即 <math>(-1)\cdot r = r\cdot (-1) = -r</math> 。


{{环与模与域}}