环

环
术语名称	环
英语名称	ring
别名	幺环, 含幺环, unital ring, unitary ring, ring with unity, ring with unit, ring with identity, ring with 1

环(ring)是一个集合和其上两个二元运算构成的代数系统，要求两个运算分别构成交换群和幺半群，且两运算间满足分配律。

关于环是否有幺元，定义上有一定争议。

一种术语体系中，无幺元的称为“环”，有幺元的称为“幺环”；另一种术语体系中，无幺环的称为“伪环”，有幺元的称为“环”。

据观察，国内高校一般沿用无幺元的定义，比较新的国外教材一般使用有幺元的定义。 由于无幺元的环可以嵌入有幺元的，且默认幺元存在可以避免一些过于平凡的反例。本 wiki 采用后者的体系。

定义

对非空集合 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及其上的两个二元运算 [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] ，若其满足以下环公理(ring axioms)：

零元
术语名称	零元
英语名称	zero element
别名	零, zero, 加法幺元, additive identity

负元
术语名称	负元
英语名称	negation
别名	加法逆元, additive inverse

幺元
术语名称	幺元
英语名称	identity element
别名	单位元, identity, 乘法幺元, multiplicative identity

• 运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 被称为加法(addition)，其使得 [math]\displaystyle{ \langle R,+ \rangle }[/math] 构成交换群(abelian group)：
  • 加法结合性(associativity of addition)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R) ((r + s) + t = r + (s + t)) }[/math] ；
  • 有加法幺元(additive identity)，称为环中的零元(zero element)或简称零(zero)：[math]\displaystyle{ (\exists 0_R \in R) (\forall r \in R) (0_R + r = r + 0_R = r) }[/math] ；
  • 有加法逆元(additive inverse)，称为环中的负元(negation)：[math]\displaystyle{ (\forall r \in R) (\exists s \in G) (r + s = s + r = 0_R) }[/math] ；
  • 加法交换性(commutativity of addition)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s \in R) (r + s = s + r) }[/math] ；
• 运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 被称为乘法(multiplication)，其使得 [math]\displaystyle{ \langle R,\cdot \rangle }[/math] 构成幺半群(monoid)：
  • 乘法结合性(associativity of multiplication)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R) ((r \cdot s) \cdot t = r \cdot (s \cdot t)) }[/math] ；
  • 有乘法幺元(multiplicative identity)，称为环中的单位元/幺元(identity element/identity)：[math]\displaystyle{ (\exists 1_R \in R) (\forall r \in R) (1_R \cdot r = r \cdot 1_R = r) }[/math] ；
• 乘法对加法满足分配性(distributivity)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R)((r + s) \cdot t = r \cdot t + s \cdot t) \land (\forall r,s,t \in R)(t \cdot (r + s) = t \cdot r + t \cdot s) }[/math] 。

则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle R, +, \cdot, 0_R, 1_R \rangle }[/math] （或省略幺元和零元写作 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] ）称为一个环(ring)。也称集合 [math]\displaystyle{ R }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 构成一个环。

注：由于较为啰唆，封闭性未被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此两个幺元都可以没有歧义地写成 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math] 和 [math]\displaystyle{ 1_R }[/math] ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 [math]\displaystyle{ -r }[/math] 。

注：可以省略元素运算写作 [math]\displaystyle{ R }[/math] 。

推论

环中加法幺元一定是乘法零元。（两侧的零元分别由对应侧的分配性和加法消去律保证）

单位元 1 的加法逆元 -1 与任意元素乘法后一定得到其负元，即 <math>(-1)\cdot r = r\cdot (-1) = -r<math> 。

模板:环与模与域