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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=同态
|eng_name=homomorphism
}}
环'''同态'''('''homomorphism''')指两个[[环]]之间保持结构的[[映射]]。

具体地说，将一个环里有运算关系的元素，映射到另一个环里有同样运算关系的元素。

<blockquote>
环的定义关于是否要求幺元有争议。本 wiki 使用要求有幺元的体系。

不要求有幺元时，相当于不要求乘法幺元对应。但是这种情况下如果存在则必须对应。
</blockquote>

== 定义 ==

对环 <math>\langle R, {\color{red}+}, {\color{red}\cdot} \rangle</math> 和 <math>\langle S, {\color{green}+}, {\color{green}\cdot} \rangle</math> ，映射 <math>\varphi: R\to S</math> ，若 <math>(\forall a, b \in R)(\varphi(a {\color{red}+} b) = \varphi(a) {\color{green}+} \varphi(b))</math> （加法交换群的[[群同态]]）且 <math>(\forall a, b \in R)(\varphi(a {\color{red}\cdot} b) = \varphi(a) {\color{green}\cdot} \varphi(b))</math> 以及 <math>\varphi(1_R) = 1_S</math> （乘法幺半群的[[幺半群同态]]），则称映射 <math>\varphi</math> 是从环 <math>R</math> 到环 <math>S</math> 的一个'''同态映射'''或一个'''同态'''('''homomorphism''')。

== 性质 ==

环同态保持对应群同态的性质。
* 环零元被映射到零元。一对负元被映射到一对负元。
* 环中一对逆元映射到逆元，也说环保持[[单位（环）|单位]]。

环同态保持元素的左右及双侧[[单位（环）|单位]]。但是非单位非零因子的元素可能被映射到零因子上。

环同态保持子环关系，把子环映射到子环。特别地，同态像是陪域的子环。

环把理想映射到同态像的理想。这里不一定是陪域的理想。

== 分类 ==

与群同态的名称相同，单射的环同态称为（环）单同态，满射的环同态称为（环）满同态，而双射的环同态称为[[环同构]]。

== 举例 ==

=== 嵌入同态 ===

环中，子环到环的嵌入映射是一个环单同态。

=== 自然同态 ===

环中，从环到其对某个[[理想]]的商环，是一个满同态。

=== 幺元指数映射 ===

整数加乘环 <math>\langle \mathbb{Z},+,\cdot \rangle</math> 到任意环 <math>R</math> 的映射 <math> m\mapsto m \cdot 1_R</math> 总是一个环同态。这也是到加法群上关于幺元 <math>1_R</math> 的指数映射。


{{环与模与域}}