环同态
| 同态 | |
|---|---|
| 术语名称 | 同态 |
| 英语名称 | homomorphism |
环同态(homomorphism)指两个环之间保持结构的映射。
具体地说，将一个环里有运算关系的元素，映射到另一个环里有同样运算关系的元素。
环的定义关于是否要求幺元有争议。本 wiki 使用要求有幺元的体系。
不要求有幺元时，相当于不要求乘法幺元对应。但是这种情况下如果存在则必须对应。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R, {\color{red}+}, {\color{red}\cdot} \rangle }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \langle S, {\color{green}+}, {\color{green}\cdot} \rangle }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ \varphi: R\to S }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall a, b \in R)(\varphi(a {\color{red}+} b) = \varphi(a) {\color{green}+} \varphi(b)) }[/math] （加法交换群的群同态）且 [math]\displaystyle{ (\forall a, b \in R)(\varphi(a {\color{red}\cdot} b) = \varphi(a) {\color{green}\cdot} \varphi(b)) }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ \varphi(1_R) = 1_S }[/math] （乘法幺半群的幺半群同态），则称映射 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是从环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 到环 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个同态映射或一个同态(homomorphism)。
性质
环同态保持对应群同态的性质。
- 环零元被映射到零元。一对负元被映射到一对负元。
- 环中一对逆元映射到逆元，也说环保持单位。
环同态保持元素的左右及双侧单位。但是非单位非零因子的元素可能被映射到零因子上。
环同态保持子环关系，把子环映射到子环。特别地，同态像是陪域的子环。
环把理想映射到同态像的理想。这里不一定是陪域的理想。
分类
与群同态的名称相同，单射的环同态称为（环）单同态，满射的环同态称为（环）满同态，而双射的环同态称为环同构。
举例
嵌入同态
环中，子环到环的嵌入映射是一个环单同态。
自然同态
环中，从环到其对某个理想的商环，是一个满同态。
幺元指数映射
整数加乘环 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z},+,\cdot \rangle }[/math] 到任意环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的映射 [math]\displaystyle{ m\mapsto m \cdot 1_R }[/math] 总是一个环同态。这也是到加法群上关于幺元 [math]\displaystyle{ 1_R }[/math] 的指数映射。