查看“︁环同态核”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=核
|eng_name=kernel
|aliases=同态核
}}
'''核'''('''kernel''')指[[环同态]]中被映射到[[环]][[幺元]]的原像集，对应于其加法群上[[群同态]]的[[同态核]]。

核总是环同态定义域环的双侧[[理想]]。

== 定义 ==

对群 <math>R,S</math> 及环同态 <math>\varphi:R\to S</math> ，有环 <math>S</math> 中的零元 <math>0_S</math> 的原像集 <math>\varphi^{-1}(0_S) = \{r\in R \mid \varphi(r)=0_S \}</math> ，称为环同态 <math>\varphi:R\to S</math> 的（同态）'''核'''('''kernel''')，记作 <math>\ker\varphi</math> 。

注：环同态对应加法群上的同态，因此涉及的特殊元素是加法群幺元，也就是环零元。

注：首先有 <math>\ker\varphi \subset S</math> 。

== 性质 ==

核是一个双侧理想。实际上，任意被映射到双侧理想的原像集也都是双侧理想，单侧也对应成立。

同样地，双侧理想也一定是某个环同态的核。

<math>0_R \in \ker \varphi</math> ，这是由于环同态必须把零元映射到零元。

单同态当且仅当 <math>\ker\varphi = \{e_R\}</math> 。


{{群论}}