环同态核
| 核 | |
|---|---|
| 术语名称 | 核 |
| 英语名称 | kernel |
| 别名 | 同态核 |
核(kernel)指环同态中被映射到环幺元的原像集，对应于其加法群上群同态的同态核。
核总是环同态定义域环的双侧理想。
定义
对群 [math]\displaystyle{ R,S }[/math] 及环同态 [math]\displaystyle{ \varphi:R\to S }[/math] ，有环 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的零元 [math]\displaystyle{ 0_S }[/math] 的原像集 [math]\displaystyle{ \varphi^{-1}(0_S) = \{r\in R \mid \varphi(r)=0_S \} }[/math] ，称为环同态 [math]\displaystyle{ \varphi:R\to S }[/math] 的（同态）核(kernel)，记作 [math]\displaystyle{ \ker\varphi }[/math] 。
注：环同态对应加法群上的同态，因此涉及的特殊元素是加法群幺元，也就是环零元。
注：首先有 [math]\displaystyle{ \ker\varphi \subset S }[/math] 。
性质
核是一个双侧理想。实际上，任意被映射到双侧理想的原像集也都是双侧理想，单侧也对应成立。
同样地，双侧理想也一定是某个环同态的核。
[math]\displaystyle{ 0_R \in \ker \varphi }[/math] ，这是由于环同态必须把零元映射到零元。
单同态当且仅当 [math]\displaystyle{ \ker\varphi = \{e_R\} }[/math] 。