查看“︁理想”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=理想
|eng_name=ideal
}}
{{InfoBox
|name=左理想
|eng_name=left ideal
|aliases=left-ideal
}}
{{InfoBox
|name=右理想
|eng_name=right ideal
|aliases=right-ideal
}}
{{InfoBox
|name=双侧理想
|eng_name=two-sided ideal
|aliases=理想,ideal
}}
'''理想'''('''ideal''')是一个[[环]]中一个[[子集]]，关于加法是[[子群]]，与环中任意元进行乘法后仍落在子集内。

<blockquote>
由于环的定义有争议，对理想的描述有细微差别，但是定义是一致的。主要区别在于理想是不是[[子环]]。

有的体系中要求环有幺元，此时子环也只接受有幺元的子环，理想不是子环；有的体系中不要求环有幺元，也就不要求子环有幺元，此时理想是子环，且也有人称为理想子环。本 wiki 采用前一种体系，因此认为理想不是环（而是[[伪环]]），也就不是子环。
</blockquote>

== 定义 ==

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及非空子集 <math>I\subseteq R</math> ，若加法群有 <math>\langle I,+ \rangle</math> 是 <math>\langle I,+ \rangle</math> 的子群，且：
* <math>(\forall r\in R)(\forall a \in I)(ra \in I)</math> ，或记作 <math>(\forall r\in R)(rI \subseteq I)</math>，则称子集 <math>I</math> 是环 <math>R</math> 的一个'''左理想'''('''left ideal''')；
* <math>(\forall r\in R)(\forall a \in I)(ra \in I)</math> ，或记作 <math>(\forall r\in R)(Ir \subseteq I)</math>，则称子集 <math>I</math> 是环 <math>R</math> 的一个'''右理想'''('''right ideal''')。

在此基础上，若子集 <math>I</math> 同时是群 <math>R</math> 的左理想和有理想，则称其是一个'''双侧理想'''('''two-sided ideal''')，有时也简称'''理想'''('''ideal''')。

由于[[交换环]]不分左右，其左右理想与双侧理想是同一概念，称为'''理想'''('''ideal''')。

=== 相关定义 ===

{{InfoBox
|name=零理想
|eng_name=zero ideal
}}
{{InfoBox
|name=单位理想
|eng_name=unit ideal
}}
{{InfoBox
|name=平凡理想
|eng_name=trivial ideal
}}
{{InfoBox
|name=非平凡理想
|eng_name=nontrivial ideal
}}
对任意环，其自身以及[[零环]]必然是其双侧理想，称为其'''平凡理想'''('''trivial ideal''')，
并称不是平凡理想的理想为'''非平凡理想'''('''nontrivial ideal''')。
其中零环称为'''零理想'''('''zero ideal''')，记作 <math>(0)</math> ，
自身称为'''单位理想'''('''unit ideal''')，记作 <math>(1)</math> 。

{{InfoBox
|name=真理想
|eng_name=proper ideal
}}
对应真子集，也就是说不是环自身的理想，称为'''真理想'''('''proper ideal''')。

== 意义 ==

理想是定义[[商环]]时需要的子集结构。类比于群对[[正规子群]]的[[商群]]，环所对应的子集所需满足的条件就是理想。

== 判别 ==

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及非空子集 <math>I\subseteq R</math> ，则子集是理想当且仅当：
* <math>(\forall a,b\in I)(a+b \in I)</math>
* <math>(\forall a \in I)(\forall r\in R)(ra \in I \land ar \in I)</math>

由于 <math>-1_R</math> 的存在，这里不像子群或子环需要验证 <math>a-b</math> 或 <math>-a</math> 。

== 性质 ==

理想不一定包含单位元。若理想包括单位元，则理想一定是环本身。


{{环与模与域}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

在环中讨论能否像质数一样分解时，讨论质数下的[[剩余类]]也就相当于商掉质数的倍数构成的子集。
最初是在分圆域上发现缺少了对应质数，因此发现了可以被“同余”的质数推广，称为“理想数”。
因此建立环论时，任意环中和“理想数”同余类有相应性质的子集就继承了“理想”这个词。<ref>[https://www.zhihu.com/question/28970727/answer/42736009 听闻有“理想”这样一个数学概念，求科普以大学数学为基础是怎样引入这一概念的，以及为什么要引入这一概念？ - Saberization的回答 - 知乎]</ref><ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory)#History Ideal (ring theory) - Wikipedia]</ref>