理想
| 理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 理想 |
| 英语名称 | ideal |
| 左理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左理想 |
| 英语名称 | left ideal |
| 别名 | left-ideal |
| 右理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右理想 |
| 英语名称 | right ideal |
| 别名 | right-ideal |
| 双侧理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 双侧理想 |
| 英语名称 | two-sided ideal |
| 别名 | 理想, ideal |
理想(ideal)是一个环中一个子集，关于加法是子群，与环中任意元进行乘法后仍落在子集内。
由于环的定义有争议，对理想的描述有细微差别，但是定义是一致的。主要区别在于理想是不是子环。
有的体系中要求环有幺元，此时子环也只接受有幺元的子环，理想不是子环；有的体系中不要求环有幺元，也就不要求子环有幺元，此时理想是子环，且也有人称为理想子环。本 wiki 采用前一种体系，因此认为理想不是环（而是伪环），也就不是子环。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及非空子集 [math]\displaystyle{ I\subseteq R }[/math] ，若加法群有 [math]\displaystyle{ \langle I,+ \rangle }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \langle I,+ \rangle }[/math] 的子群，且：
- [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(\forall a \in I)(ra \in I) }[/math] ，或记作 [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(rI \subseteq I) }[/math]，则称子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的一个左理想(left ideal)；
- [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(\forall a \in I)(ra \in I) }[/math] ，或记作 [math]\displaystyle{ (\forall r\in R)(Ir \subseteq I) }[/math]，则称子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的一个右理想(right ideal)。
在此基础上，若子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 同时是群 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的左理想和有理想，则称其是一个双侧理想(two-sided ideal)，有时也简称理想(ideal)。
由于交换环不分左右，其左右理想与双侧理想是同一概念，称为理想(ideal)。
相关定义
| 零理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 零理想 |
| 英语名称 | zero ideal |
| 单位理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 单位理想 |
| 英语名称 | unit ideal |
| 平凡理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡理想 |
| 英语名称 | trivial ideal |
| 非平凡理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非平凡理想 |
| 英语名称 | nontrivial ideal |
对任意环，其自身以及零环必然是其双侧理想，称为其平凡理想(trivial ideal)， 并称不是平凡理想的理想为非平凡理想(nontrivial ideal)。 其中零环称为零理想(zero ideal)，记作 [math]\displaystyle{ (0) }[/math] ， 自身称为单位理想(unit ideal)，记作 [math]\displaystyle{ (1) }[/math] 。
| 真理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 真理想 |
| 英语名称 | proper ideal |
对应真子集，也就是说不是环自身的理想，称为真理想(proper ideal)。
意义
理想是定义商环时需要的子集结构。类比于群对正规子群的商群，环所对应的子集所需满足的条件就是理想。
判别
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及非空子集 [math]\displaystyle{ I\subseteq R }[/math] ，则子集是理想当且仅当：
- [math]\displaystyle{ (\forall a,b\in I)(a+b \in I) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall a \in I)(\forall r\in R)(ra \in I \land ar \in I) }[/math]
由于 [math]\displaystyle{ -1_R }[/math] 的存在，这里不像子群或子环需要验证 [math]\displaystyle{ a-b }[/math] 或 [math]\displaystyle{ -a }[/math] 。
性质
理想不一定包含单位元。若理想包括单位元，则理想一定是环本身。
琐事
名称
在环中讨论能否像质数一样分解时，讨论质数下的剩余类也就相当于商掉质数的倍数构成的子集。 最初是在分圆域上发现缺少了对应质数，因此发现了可以被“同余”的质数推广，称为“理想数”。 因此建立环论时，任意环中和“理想数”同余类有相应性质的子集就继承了“理想”这个词。[1][2]