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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=生成子群
|eng_name=generated subgroup
}}
'''生成子群'''('''generated subgroup''')指一个[[群]]中部分元素构成的[[集合]]所生成的群一定是这个群的[[子群]]。

== 定义 ==

=== 通过自由群定义 ===

对群 <math>G</math> ，子集 <math>A\subseteq G</math> ，则考虑 <math>A</math> 所生成的[[自由群]]，可知[[包含映射]]<math>\iota: A \to G</math> 在自由群上的延拓 <math>\phi:F(A)\to G</math> 也是一个群同态，其[[像（群同态）|像（值域）]]称为群 <math>G</math> 中由集合 <math>A</math> 所'''生成'''的'''子群'''('''subgroup generated''' by <math>A</math> )。

=== 通过最小集合定义 ===

对群 <math>G</math> ，子集 <math>A\subseteq G</math> ，则将 <math>G</math> 中所有包含 <math>A</math> 的集合之交 <math>\bigcap_{A\subseteq H\leq G} H</math> 称为群 <math>G</math> 中由集合 <math>A</math> 所'''生成'''的'''子群'''('''subgroup generated''' by <math>A</math> )，记作 <math>\langle A\rangle</math>。


{{群论}}