生成子群
| 生成子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 生成子群 |
| 英语名称 | generated subgroup |
生成子群(generated subgroup)指一个群中部分元素构成的集合所生成的群一定是这个群的子群。
定义
通过自由群定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，子集 [math]\displaystyle{ A\subseteq G }[/math] ，则考虑 [math]\displaystyle{ A }[/math] 所生成的自由群，可知包含映射[math]\displaystyle{ \iota: A \to G }[/math] 在自由群上的延拓 [math]\displaystyle{ \phi:F(A)\to G }[/math] 也是一个群同态，其像（值域）称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中由集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 所生成的子群(subgroup generated by [math]\displaystyle{ A }[/math] )。
通过最小集合定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，子集 [math]\displaystyle{ A\subseteq G }[/math] ，则将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中所有包含 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的集合之交 [math]\displaystyle{ \bigcap_{A\subseteq H\leq G} H }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中由集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 所生成的子群(subgroup generated by [math]\displaystyle{ A }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ \langle A\rangle }[/math]。