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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=生成理想
|aliases=generated ideal
}}
'''生成理想'''('''generated ideal''')指一个[[环]]中由部分元素生成的[[主理想]]中所有元素运算可能得到元素构成的集合一定还是这个环的[[理想]]。

== 定义 ==

=== 通过主理想定义 ===

对交换环 <math>R</math> ，对一组元素 <math>a_\alpha \in R , \alpha \in A</math> ，有 <math>(a_\alpha)_{\alpha\in A} = \sum_{\alpha\in A} (a_\alpha) = \{ \sum_{\alpha\in A}r_\alpha a_\alpha \mid r_\alpha\in R \}</math> ，则可知其是环 <math>R</math> 的一个理想，称为环 <math>R</math> 中由元素 <math>a_\alpha</math> 所'''生成'''的'''理想'''('''ideal generated''' by <math>a_\alpha</math> )。

注：如果是有限的或可数的，写成 <math>(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> 和 <math>(a_1,a_2,\dots)</math> 。

=== 通过最小集合定义 ===

对交换环 <math>R</math> ，对一组元素 <math>a_\alpha \in R , \alpha \in A</math> 则将 <math>R</math> 中所有包含 <math>a_\alpha</math> 的理想之交称为环 <math>R</math> 中由元素 <math>a_\alpha</math> 所'''生成'''的'''理想'''('''ideal generated''' by <math>A</math> )，记作 <math>\langle A\rangle</math>。


{{环与模与域}}