生成理想
| 生成理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 生成理想 |
| 英语名称 | |
| 别名 | generated ideal |
生成理想(generated ideal)指一个环中由部分元素生成的主理想中所有元素运算可能得到元素构成的集合一定还是这个环的理想。
定义
通过主理想定义
对交换环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，对一组元素 [math]\displaystyle{ a_\alpha \in R , \alpha \in A }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (a_\alpha)_{\alpha\in A} = \sum_{\alpha\in A} (a_\alpha) = \{ \sum_{\alpha\in A}r_\alpha a_\alpha \mid r_\alpha\in R \} }[/math] ，则可知其是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的一个理想，称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中由元素 [math]\displaystyle{ a_\alpha }[/math] 所生成的理想(ideal generated by [math]\displaystyle{ a_\alpha }[/math] )。
注：如果是有限的或可数的，写成 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots,a_n) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots) }[/math] 。
通过最小集合定义
对交换环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，对一组元素 [math]\displaystyle{ a_\alpha \in R , \alpha \in A }[/math] 则将 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中所有包含 [math]\displaystyle{ a_\alpha }[/math] 的理想之交称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中由元素 [math]\displaystyle{ a_\alpha }[/math] 所生成的理想(ideal generated by [math]\displaystyle{ A }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ \langle A\rangle }[/math]。