查看“︁真值表”︁的源代码

[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:zhen1zhi2biao3}}
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|keywords=真值表, 命题逻辑, 逻辑联结词, 真值函数
|description=本文介绍真值表的定义、构造方法与应用，包括真值表作为逻辑联结词语义定义工具的概念，其在命题公式分析和逻辑推理中的重要性。
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|published_time=2023-09-02
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|name=真值表
|eng_name=truth table
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'''真值表'''('''truth table''')是对[[命题公式]]，列出其在所有可能[[解释（命题逻辑）|解释]]下[[真值]]的表格。
真值表是定义[[逻辑联结词]]语义、分析命题公式性质的重要工具。

== 定义 ==

对一个命题公式 <math>A</math> ，其中有 <math>P_1, P_2, \dots, P_n</math> 共 <math>n</math> 个命题变元。
其'''真值表'''是包含所有 <math>2^n</math> 种可能[[指派（命题逻辑）|指派]]及其对应公式真值的系统表格。

== 表格细节 ==

真值表通常包含以下部分：
* 前 <math>n</math> 列：列出所有命题变元的真值组合，通常以二进制或二进制倒序排列；
* 中间列（可选）：若命题公式是含有子公式的复合公式，列出中间步骤的真值；
* 最后一列：整个公式的真值。

真值表也可以用于多个命题公式，此时最后列出结果的部分每个命题公式一列。

=== 构造方法 ===

从上到下、从左到右，按照类似以下顺序：

# 确定命题变元的数量 <math>n</math> ，列出命题变元、需要计算的中间结果、最终结果作为列表头；
# 计算总行数 <math>2^n</math> 并列出所有可能的真值组合（通常按二进制顺序）；
# 按逻辑联结词的优先级逐步计算中间结果；
# 最终得到整个公式的真值。

=== 真值组合的排列 ===

为系统化，通常按以下顺序排列真值组合：
* 对单个变元：真、假。
* 对两个变元：真真、真假、假真、假假。
* 对多个变元：按类似二进制计数顺序排列。

每一行真值组合的部分是一个指派，“令 <math>P</math> 为真， <math>Q</math> 为假”，
而整行是一个解释，“对形式上符合公式 <math>\phi</math> 的命题，当 <math>P</math> 为真， <math>Q</math> 为假时，这样的命题都是真命题”。

== 应用 ==

真值表可以用于：
* 判定[[命题公式分类]]。
* 证明命题的[[等值（逻辑）|等值]]关系。
* 证明命题的[[重言蕴涵]]关系。
* 计算命题公式的[[范式（命题公式）|主合取范式、主析取范式]]。
* 证明逻辑论证有效性。

== 优缺点 ==

真值表有以下优点：
* 系统地、固定顺序地列出所有组合。完备地包含公式所有可能情况。
* 直观展示公式的真值特性。

同时面临以下缺点：
* [[指数爆炸]]：变元数量增加时，行数指数增长。增长速度为指数级，增长非常快。
* 语义有限：只能处理经典逻辑[[真值函数]]内容。


{{命题逻辑}}