真值表
| 真值表 | |
|---|---|
| 术语名称 | 真值表 |
| 英语名称 | truth table |
真值表(truth table)是对命题公式，列出其在所有可能解释下真值的表格。 真值表是定义逻辑联结词语义、分析命题公式性质的重要工具。
定义
对一个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，其中有 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots, P_n }[/math] 共 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个命题变元。 其真值表是包含所有 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 种可能指派及其对应公式真值的系统表格。
表格细节
真值表通常包含以下部分：
- 前 [math]\displaystyle{ n }[/math] 列：列出所有命题变元的真值组合，通常以二进制或二进制倒序排列；
- 中间列（可选）：若命题公式是含有子公式的复合公式，列出中间步骤的真值；
- 最后一列：整个公式的真值。
真值表也可以用于多个命题公式，此时最后列出结果的部分每个命题公式一列。
构造方法
从上到下、从左到右，按照类似以下顺序：
- 确定命题变元的数量 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，列出命题变元、需要计算的中间结果、最终结果作为列表头；
- 计算总行数 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 并列出所有可能的真值组合（通常按二进制顺序）；
- 按逻辑联结词的优先级逐步计算中间结果；
- 最终得到整个公式的真值。
真值组合的排列
为系统化，通常按以下顺序排列真值组合：
- 对单个变元：真、假。
- 对两个变元：真真、真假、假真、假假。
- 对多个变元：按类似二进制计数顺序排列。
每一行真值组合的部分是一个指派，“令 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假”， 而整行是一个解释，“对形式上符合公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的命题，当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时，这样的命题都是真命题”。
应用
真值表可以用于：
- 判定命题公式分类。
- 证明命题的等值关系。
- 证明命题的重言蕴涵关系。
- 计算命题公式的主合取范式、主析取范式。
- 证明逻辑论证有效性。
优缺点
真值表有以下优点：
- 系统地、固定顺序地列出所有组合。完备地包含公式所有可能情况。
- 直观展示公式的真值特性。
同时面临以下缺点：