查看“︁积、余积”︁的源代码

[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=积
|eng_name=product
|aliases=积对象
}}
{{InfoBox
|name=余积
|eng_name=coproduct
|aliases=上积,余积对象,上积对象,和,categorical sum
}}
'''积'''('''product''')和'''余积'''/'''上积'''('''coproduct''')是对[[范畴]]中的两个或多个对象，相关的态射一定要“经过”的公共对象。

积类比于把某集合到多个[[集合]]的[[映射]]看成，一个映射把它先“一股脑”地映射到[[笛卡尔积]]，然后再分别投影；余积类比于把多个集合到某集合的映射看成，先映射到它们的[[不交并]]再从不交并“统一”地映射出去。它们抽象了态射上的某种更加泛化的“最近的公共前面”和“最近的公共后面”的结构。

积和余积是一种[[始对象、终对象]]，其同构意义下唯一，所带有的性质也是泛性质。同样也可以看作特殊的[[极限、余极限]]。

== 定义 ==

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 中的任意对象 <math>X_1,X_2</math> ：

=== 积对象 ===

若对象 <math>X</math> 是对象 <math>X_1, X_2</math> 的[[楔范畴]]中的一个[[终对象]]，或者说：

若对从任意对象 <math>Y</math> 到这两个对象的态射 <math>f_1: Y \to X_1, f_2: Y \to X_2</math> ，都存在对象 <math>X</math> 和态射 <math>\pi_1 : X\to X_1, \pi_2: X\to X_2</math> ，使得存在唯一一个态射 <math>f</math> 满足

<math>\pi_1 \circ f = f_1, \pi_2 \circ f = f_2</math>

或者说使下图可交换：

{{GiteaSvg|category_product}}

{{InfoBox
|name=投影态射
|eng_name=projection morphism
|aliases=典范投影,canonical projection
}}
{{InfoBox
|name=积态射
|eng_name=product
|aliases=积
}}
则称对象 <math>X</math> 是范畴 <math>\mathscr{C}</math> 中对象 <math>X_1, X_2</math> 的一个'''积对象'''或'''积'''('''product''')，（其若存在则在同构意义下唯一，因此在同构意义下）记作 <math>X_1 \times X_2</math> ，并称态射 <math>\pi_1,\pi_2</math> 是'''典范投影'''('''canonical projection''')或'''投影态射'''('''projection morphism''')，给出的唯一态射 <math>f</math> 是态射 <math>f_1, f_2</math> 的'''积态射'''或'''积'''('''product''' of morphisms)，并记作 <math>\langle f_1,f_2 \rangle</math> 或 <math>f_1\times f_2</math> 。

=== 范畴有积 ===

如果对任意两个对象其积存在，则可以推广到任意有限个对象上，此时称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有积'''('''has products''')或'''有有限积'''('''has finite products''')。

若对范畴中任意可数个对象 <math>X_1, X_2, \dots</math> 存在满足以上条件的对象，即对任意 <math>Y</math> 和 <math>f_i: Y\to X_i</math> 都存在对象 <math>X</math> 及映射 <math>\pi_i</math> ，使得存在唯一 <math>f:Y\to X</math> 满足 <math>\pi_i \circ f = f_i</math> ，称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有可数积'''('''has countable products''')。

若对范畴中任意的任意个对象 <math>(X_i)_{i\in I}</math> 存在满足以上条件的对象，即对任意 <math>Y</math> 和 <math>f_i: Y \to X_i</math> 都存在对象 <math>X</math> 及映射 <math>\pi_i</math> ，使得存在唯一 <math>f:Y\to X</math> 满足 <math>\pi_i \circ f = f_i</math> ，称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有任意积'''('''has arbitrary products''')。

=== 余积对象 ===

若对象 <math>X</math> 是对象 <math>X_1, X_2</math> 的[[余楔范畴]]中的一个[[始对象]]，或者说：

若对从这两个对象到任意对象 <math>Z</math> 到的态射 <math>f_1: X_1\to Z, f_2: X_2\to Z</math> ，都存在对象 <math>X</math> 和态射 <math>i_1 : X_1 \to X, i_2: X_2 \to X</math> ，使得存在唯一一个态射 <math>f</math> 满足

<math>f \circ i_1 = f_1, i_2 \circ f = f_2</math>

或者说使下图可交换：

{{GiteaSvg|category_coproduct}}

{{InfoBox
|name=典范单态
|eng_name=canonical injection
|aliases=自然单态
}}
{{InfoBox
|name=余积态射
|eng_name=coproduct
|aliases=余积,上积态射,上积,和
}}
则称对象 <math>X</math> 是范畴 <math>\mathscr{C}</math> 中对象 <math>X_1, X_2</math> 的一个'''余积对象'''/'''上积对象'''或'''积'''/'''上积'''('''coproduct''')，（其若存在则在同构意义下唯一，因此在同构意义下）记作 <math>X_1 \coprod X_2</math> ，有时也记作 <math>X_1 \oplus X_2</math> 或 <math>X_1 + X_2</math>，并称态射 <math>i_1,i_2</math> 是'''自然单态'''/'''典范单态'''('''canonical injection''')，给出的唯一态射 <math>f</math> 是态射 <math>f_1, f_2</math> 的'''余积态射'''或'''余积'''('''coproduct''' of morphisms)，并记作 <math>[f_1,f_2]</math> 、 <math>f_1+f_2</math> 或 <math>f_1\sqcup f_2</math> 。

=== 范畴有余积 ===

类似于一个范畴有积的定义：

如果对任意两个对象其积存在，则可以推广到任意有限个对象上，此时称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有余积'''('''has coproducts''')或'''有有限余积'''('''has finite coproducts''')。

若对范畴中任意可数个对象 <math>X_1, X_2, \dots</math> 存在满足以上条件的对象，称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有可数余积'''('''has countable coproducts''')。

若对范畴中任意的任意个对象 <math>(X_i)_{i\in I}</math> 存在满足以上条件的对象，称范畴 <math>\mathscr{C}</math> '''有任意余积'''('''has arbitrary coproducts''')。

== 说明 ==

积和余积是两个对象构成的图的“上方”极限或“下方”余极限。代表了两个对象的公共“上方”中最接近或者说最“下方”的对象，和公共“下方”中最接近或者说最“上方”的对象。

== 集合范畴的类比 ==

[[集合范畴]]是有任意积和任意余积的范畴。
其中笛卡尔积是一个积，其对应的投影态射就是[[投影映射]]；
不交并集是一个余积，其对应的自然单态就是[[包含映射]]。


{{范畴论}}