积、余积

积
术语名称	积
英语名称	product
别名	积对象

余积
术语名称	余积
英语名称	coproduct
别名	上积, 余积对象, 上积对象, 和, categorical sum

积(product)和余积/上积(coproduct)是对范畴中的两个或多个对象，相关的态射一定要“经过”的公共对象。

积类比于把某集合到多个集合的映射看成，一个映射把它先“一股脑”地映射到笛卡尔积，然后再分别投影；余积类比于把多个集合到某集合的映射看成，先映射到它们的不交并再从不交并“统一”地映射出去。它们抽象了态射上的某种更加泛化的“最近的公共前面”和“最近的公共后面”的结构。

积和余积是一种始对象、终对象，其同构意义下唯一，所带有的性质也是泛性质。同样也可以看作特殊的极限、余极限。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中的任意对象 [math]\displaystyle{ X_1,X_2 }[/math] ：

积对象

若对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 是对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2 }[/math] 的楔范畴中的一个终对象，或者说：

若对从任意对象 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 到这两个对象的态射 [math]\displaystyle{ f_1: Y \to X_1, f_2: Y \to X_2 }[/math] ，都存在对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和态射 [math]\displaystyle{ \pi_1 : X\to X_1, \pi_2: X\to X_2 }[/math] ，使得存在唯一一个态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 满足

[math]\displaystyle{ \pi_1 \circ f = f_1, \pi_2 \circ f = f_2 }[/math]

或者说使下图可交换：

投影态射
术语名称	投影态射
英语名称	projection morphism
别名	典范投影, canonical projection

积态射
术语名称	积态射
英语名称	product
别名	积

则称对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 是范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2 }[/math] 的一个积对象或积(product)，（其若存在则在同构意义下唯一，因此在同构意义下）记作 [math]\displaystyle{ X_1 \times X_2 }[/math] ，并称态射 [math]\displaystyle{ \pi_1,\pi_2 }[/math] 是典范投影(canonical projection)或投影态射(projection morphism)，给出的唯一态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是态射 [math]\displaystyle{ f_1, f_2 }[/math] 的积态射或积(product of morphisms)，并记作 [math]\displaystyle{ \langle f_1,f_2 \rangle }[/math] 或 [math]\displaystyle{ f_1\times f_2 }[/math] 。

范畴有积

如果对任意两个对象其积存在，则可以推广到任意有限个对象上，此时称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有积(has products)或有有限积(has finite products)。

若对范畴中任意可数个对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2, \dots }[/math] 存在满足以上条件的对象，即对任意 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ f_i: Y\to X_i }[/math] 都存在对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 及映射 [math]\displaystyle{ \pi_i }[/math] ，使得存在唯一 [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \pi_i \circ f = f_i }[/math] ，称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有可数积(has countable products)。

若对范畴中任意的任意个对象 [math]\displaystyle{ (X_i)_{i\in I} }[/math] 存在满足以上条件的对象，即对任意 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ f_i: Y \to X_i }[/math] 都存在对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 及映射 [math]\displaystyle{ \pi_i }[/math] ，使得存在唯一 [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \pi_i \circ f = f_i }[/math] ，称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有任意积(has arbitrary products)。

余积对象

若对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 是对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2 }[/math] 的余楔范畴中的一个始对象，或者说：

若对从这两个对象到任意对象 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 到的态射 [math]\displaystyle{ f_1: X_1\to Z, f_2: X_2\to Z }[/math] ，都存在对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和态射 [math]\displaystyle{ i_1 : X_1 \to X, i_2: X_2 \to X }[/math] ，使得存在唯一一个态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 满足

[math]\displaystyle{ f \circ i_1 = f_1, i_2 \circ f = f_2 }[/math]

或者说使下图可交换：

典范单态
术语名称	典范单态
英语名称	canonical injection
别名	自然单态

余积态射
术语名称	余积态射
英语名称	coproduct
别名	余积, 上积态射, 上积, 和

则称对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 是范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2 }[/math] 的一个余积对象/上积对象或积/上积(coproduct)，（其若存在则在同构意义下唯一，因此在同构意义下）记作 [math]\displaystyle{ X_1 \coprod X_2 }[/math] ，有时也记作 [math]\displaystyle{ X_1 \oplus X_2 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ X_1 + X_2 }[/math]，并称态射 [math]\displaystyle{ i_1,i_2 }[/math] 是自然单态/典范单态(canonical injection)，给出的唯一态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是态射 [math]\displaystyle{ f_1, f_2 }[/math] 的余积态射或余积(coproduct of morphisms)，并记作 [math]\displaystyle{ [f_1,f_2] }[/math] 、 [math]\displaystyle{ f_1+f_2 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ f_1\sqcup f_2 }[/math] 。

范畴有余积

类似于一个范畴有积的定义：

如果对任意两个对象其积存在，则可以推广到任意有限个对象上，此时称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有余积(has coproducts)或有有限余积(has finite coproducts)。

若对范畴中任意可数个对象 [math]\displaystyle{ X_1, X_2, \dots }[/math] 存在满足以上条件的对象，称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有可数余积(has countable coproducts)。

若对范畴中任意的任意个对象 [math]\displaystyle{ (X_i)_{i\in I} }[/math] 存在满足以上条件的对象，称范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 有任意余积(has arbitrary coproducts)。

说明

积和余积是两个对象构成的图的“上方”极限或“下方”余极限。代表了两个对象的公共“上方”中最接近或者说最“下方”的对象，和公共“下方”中最接近或者说最“上方”的对象。

集合范畴的类比

集合范畴是有任意积和任意余积的范畴。 其中笛卡尔积是一个积，其对应的投影态射就是投影映射； 不交并集是一个余积，其对应的自然单态就是包含映射。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核